144
INTÉGRATION
chap. VIII, 5 3
Ceci résulte du $ 1, no 2, cor. de la prop. 1.
COROLLAIRE. - Soient G u n groupe localement compact,
y,, . . . , p , des mesures sur G. Pour que la suite (pi)lGiGn soit convolable, il faut et il suffit que la suite (~n-i),Gi,c,-l le soit, et l'on a alors
V
V
(pl * . . . * pn)" = pn * . . . * pl.
Ceci résulte de la prop. 7 en considérant l'isomorphisme
x - x-l de G sur le groupe opposé.
2. Cas d'un groupe opérant dans un espace.
Soit X un espace localement compact sur lequel un groupe
localement compact G opère à gauche continûment par
Si pi, . . . , pn sont des mesures sur G et v une mesure sur X ,
celles-ci seront dites convolables si elles le sont pour l'application (s,, . . . , s,, x) - s, . . . s,x de Gn x X dans X, et leur
produit de convolution devra s'entendre au sens de cette application.
Si s E G et X E X , on a
d'après le $ 1, no 1, exemple 3.
PROPOSITION S. - Soient p une mesure sur G, v une mesure
sur X.
(i) S i p est à support compact, p et v sont conuolables.
(ii) S i v est à support compact, et si G opère proprement
dans X , p et v sont conuolables.
Ceci résulte de la prop. 4 du 5 1, no 4.
PROPOSITION 9. - Pour la conuolution, A1(X) est un
module à gauche sur A1(G), A ( X ) et W(X) sont des modules
à gauche sur V1(G).