PROPOSITION 5. - Soient A une mesure de Haar a gauche
(resp. ci droite) sur G, et p E A1(G). Alors p et A (resp. h et p)
sont convolables, et p * A = 11pl l A (resp. A * il. = Ilpllh).
On peut supposer p 2 O. Soit f E X+(G). Lorsque A est
une mesure de Haar à gauche, on a
donc la fonction (x, y) - f(xy) est (p 8 A)-intégrable, et son
intégrale pour p @ A est A(f)llpll. On raisonne de même quand
A est une mesure de Haar à droite.
PROPOSITION 6. - Soient p . et v deux mesures convolables
sur G. Soit x une représentation continue de G dans C*. Alors
X . p et X. v sonf convolables et (x. p) * (x. V) = X , (p * v).
Soit f E X(G). Alors f~ E X(G), donc la fonction
sur G x G est intégrable pour p 8 v ; donc la fonction
(x, y) - f(xy) est intégrable pour (x. p) 8 (x. v) ; donc X . p et
X.V sont convolables. E n outre,
PROPOSITION 7. - Soient G et G' deux groupes localement
compacts, u une représenfation continue de G dans G', pl, . . ., pn
des mesures sur G, toutes f O. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) u est pi-propre pour tout i, et les mesures u(lpil) sont
convola bZes ;
(ii) les pi sont convolables et u est propre pour *(l pi[).
i
Lorsque ces conditions sont vérifiées, on a