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I N T ~ G R A T I O N
chap. VIII, $ 3
chap. V (5 2, prop. 2, 5 6, prop. 2, $ 8, prop. 5) et le fait que
(s, t) - p(s)p(t) est seini-continue inférieurement dans G x G, on a
On voit que A * p L.E d P ( G ) et que llh * p. 11 4 llhll. 11p11. Compte tenu
de la prop. 1, d P ( G ) est une algèbre. L'application A - p . A
est une application linéaire isométrique 8 de AP(G) dans Al(G) ;
si p E &l(G), 1/p, qui est localement bornée et semi-continue
supérieurement, est localement pintégrable, et p est (l/p) . pintégrable, donc ( l / p ) . p E AP(G) ; ceci prouve que 6 est surjective ; donc AP(G) est une algèbre normée complète. Enfin,
il est clair que
est élément unité de AP(G) et que V(G) est
une sous-algèbre de d P ( G ) ( $ 1, no 4, cor. de la prop. 5).
Si p = 1, la prop. 2, (i) et (ii), rksulte aussi du $ 1, prop. 2.
PROPOSITION 3. - Soient p. ,
, . . ., p, des mesures sur G. Si
toutes les pi, sauf une au plus, sont à support compact, alors les
p, sont convolables.
E n effet, soit S, le support de pi, et supposons Si compact
pour i # i , , . Soit K une partie compacte de G. L'ensemble des
(x,, . . . , x,) E fl Si tels que x,x, . . . x, E K est compact, car les
i
conditions xi E Si pour tout i, x,x, . . . x, E K impliquent
Donc les pi sont convolables (§ 1, no 4, prop. 4).
PROPOSITION 4. - L'application (A, p.) )- A * p. (resp.
(A, p) - p $ A) ou A E Vt(G), p. E d ( G ) , définit sur A(G) une
structure de module à gauche (resp. à droite) sur l'algèbre V'(G).
Ceci résulte des prop. 1 et 3.