(ii) Si A et t ~ . sont convolables, ainsi que ]hl * [y1 et v, alors
À, y, v sont conuolables. De mlme si y et v sont convolables ainsi
que A et I p. 1 * /VI.
Ceci résulte de la prop. 1 du $ 1, no 2.
Il peut exister des mesures A, y, v sur G telles que les proZ duits de convolution A * y, ( A * y) * v, y * v, A * (p * v) soient
tous definis, et que cependant ( A * y) * v # A * (p * V) (cf.
exerc. 4).
Soit p une fonction > O finie semi-continue inférieurement
sur G telle que p(st) 4 p(s)p(t) quels que soient s, t dans G.
On notera d P ( G ) l'espace vectoriel des mesures A sur G telles
que p soit A-intégrable, et I/Al/, (ou simplement lIhll) la norme
1,
p(s)dlhl(s) sur cet espace. Pour p = 1, on retrouve l'ensemble d l ( G ) des mesures bornées sur G.
PROPOSITION 2. - (i) Deux éléments quelconques de ,/IYP(G)
sont convolables.
(ii) Pour la convolution, et pour la norme llA/l, d P ( G ) est une
dgébre normée complète admettant l'élément unité E, .
(iii) Vr(G) est une sous-algkbre de dP(G).
Soient A, y dans dP(G), et montrons que A et p sont convolables. Soit f E X+ (G). Comme p est > O et semi-continue inférieurement, il existe une constante k > O telle que f d kp.
On a alors
(chap. V, § 8, no 2, prop. 5). Donc f est (A 8 p)-intégrable, de
sorte que A et p sont convolables. D'autre part, en utilisant le
À, y, v sont conuolables. De mlme si y et v sont convolables ainsi
que A et I p. 1 * /VI.
Ceci résulte de la prop. 1 du $ 1, no 2.
Il peut exister des mesures A, y, v sur G telles que les proZ duits de convolution A * y, ( A * y) * v, y * v, A * (p * v) soient
tous definis, et que cependant ( A * y) * v # A * (p * V) (cf.
exerc. 4).
Soit p une fonction > O finie semi-continue inférieurement
sur G telle que p(st) 4 p(s)p(t) quels que soient s, t dans G.
On notera d P ( G ) l'espace vectoriel des mesures A sur G telles
que p soit A-intégrable, et I/Al/, (ou simplement lIhll) la norme
1,
p(s)dlhl(s) sur cet espace. Pour p = 1, on retrouve l'ensemble d l ( G ) des mesures bornées sur G.
PROPOSITION 2. - (i) Deux éléments quelconques de ,/IYP(G)
sont convolables.
(ii) Pour la convolution, et pour la norme llA/l, d P ( G ) est une
dgébre normée complète admettant l'élément unité E, .
(iii) Vr(G) est une sous-algkbre de dP(G).
Soient A, y dans dP(G), et montrons que A et p sont convolables. Soit f E X+ (G). Comme p est > O et semi-continue inférieurement, il existe une constante k > O telle que f d kp.
On a alors
(chap. V, § 8, no 2, prop. 5). Donc f est (A 8 p)-intégrable, de
sorte que A et p sont convolables. D'autre part, en utilisant le