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INTÉGRATION
chap. VIII, $ 3
La première partie de (ii) est immédiate puisque les restrictions des U(s) à F (s E G) définissent une représentation linéaire continue de G dans l'espace localement convexe quasicomplet F. La deuxième partie de (ii), et (i), résultent du cor. 3
du lemme 4.
5 3. Convolution des mesures sur les groupes.
1 . Algèbres de mesures.
Soit G un groupe localement compact. Il sera entendu
une fois pour toutes que des mesures pl, . . . , p, sur G sont
dites convolables si elles le sont pour l'application
et c'est au moyen de cette application qu'on prendra toujours
le produit de convolution * pi. Si s E G, t E G, on a
i
d'après le $ 1, no 1, exemple 3. Si G est commutatif, dire que
pl et p, sont convolables équivaut à dire que y, et pl sont convolables, et l'on a alors pl * pz = y, * pl. Si G n'est pas commutatif, il peut arriver que pl e t p. , soient convolables, sans que
y, e t pl le soient (exerc. 12).
PROPOSITION 1. - Soient G un groupe localement compact,
A, p, v des mesures # O sur G.
(i) Si A, p, v sont convolables, il en est de même de A et p,
de J A ~
* Ip] et v, de p e t v, de A et Iyl * IV\, et l'on a