pacte de %(K,). Il sufit alors d'appliquer le lemme 4 en remplaçant T par K,.
COROLLAIRE 2. - Les hypothèses étant celles du cor. 1,
soit f une application continue de T dans un espace localement
convexe quasi-complet E. On a
Ceci résulte du cor. 1 et de la prop. 14 du chap. V I , 5 1,
no 6.
COROLLAIRE 3. - Soient G u n groupe localement compact,
E u n espace localement convexe quasi-complet, U une représentation linéaire continue de G dans E. Soient p une mesure positive sur G, a un élément de G, 23 une base du filtre des uoisinages de a, formée de ooisinages compacts. Pour tout V G 23,
soit f , une fonction continue 2 O sur G, de support contenu
dans V , et telle que
P = 1. Alors, pour tout x E E , on a
I f d
U(a)x = lim, U(f, . P)x
la limite étant prise suivant le filtre des sections de 23.
L'application s - U(s)x de G dans E est continue. D'après
le cor. 2, on a U(a)x = lim,
( U ( s ) x ) .
f,(s)dp(s) suivant le
S
filtre des sections de 23, c'est-à-dire U(a)n: = lim, U(fv. p)x.
PROPOSITION 10. - Soient G un groupe localement compact, E un espace localement convexe quasi-complet, U une représentation linéaire continue de G dans E , @ une mesure positive
sur G de support G.
(i) Les vecteurs U(f .P)x, oh f parcourt X ( G ) et ou x parcourt
E , sont partout denses dans E.
(ii) Soit F un sous-espace vectoriel fermé de E. S i F est stable
pour U , on a U(p)(F) c F pour toute p E V f ( G ) . Réciproquement, si U ( f . p)(F) c F pour toute f E X ( G ) , F est stable pour U.