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INTEGRATION
chap. VIII, 8 2
(i) pour foute partie compacfe K de T, les nombres IyI(K),
pour y E M , sonf majorés ;
(ii) lim,,s Ip((K) = O pour toute partie compacte K de
T - (a) ;
(iii) il existe u n voisinage compact V de a dans T fel que
lim,, 5 y(V) = 1.
Alors le filtre 5 converge vers E, dans A(T) m u n i de la topologie de la convergence compacfe dans LXT(T).
D'après l'hypothèse (i), M est une partie équicontinue de
A(T) piiisqu'elle est vaguement bornée et que %(T) est tonnelé
( E s p . uect. fop., chap. III, 5 3, no 6, th. 2). Il suffit donc (Top.
gén., chap. X , 2e éd., 8 2, no 4, th. 1) de prouver que, si f E X(T),
on a lirn, g y(f) = f(a). Soit K la réunion de V et du support
de f ; si K' est l'adhérence de K - V, on a
comme K' est compact et ne contient pas a, on en conclut que
lim,,s p(K) = 1. Soit E > O, et soit W un voisinage ouvert
de a dans K tel que If(t) - f(a)l 6 E pour t E W ; on peut écrire
l'intégrale sur K peut s'écrire comme somme des intégrales
analogues sur W et sur K - W ; si C = sup If/, on aura donc
Comme le premier et le troisième terme du second membre
tendent vers O suivant 5, on voit bien que lim,,s p(f) = f(a).
COROLI.AIRE 1. - Les hypothèses étant celles d u lemme 4,
supposons de plus qu'il existe une partie compacfe K, de T contenant
les supports de toutes les mesures p E M . Alors 5 converge aussi
vers E, dans %"(T) m u n i de la topologie de la convergence compacfe
dans V(T).
En effet, l'application de restriction de V(T) dans V(K,)
est continue ; donc, si H est une partie compacte de % '
( T ) ,
les
restrictions à K, des fonctions de H forment une partie com-