Supposons U continue et E quasi-complet. Alors pour toute mesure p E VJ(G), on a
U(s)dy(s) E 3 ( E ; E) (chap. VI, § 1, no 7).
1,
Nous poserons U(y) =
U(s)dp(s). Munissons W(G) de la
topologie de la convergence compacte dans %'( G) . L'application
(p, x) - U(p)x de %"(G) x E dans E est hypocontinue relativement aux parties équicontinues de V(G) et aux parties compactes de E ; en particulier, l'application p -+ U(p) de WJ(G)
dans S ( E ; E) (muni de la topologie de la convergence compacte)
est continue (loc. cit., prop. 16).
Pour pouvoir appliquer plus loin ces résultats, notons que,
si X est un espace localement compact, V(X), muni de la topologie de la convergence compacte, est complet (Top. gén.,
chap. X, 2 e éd., 5 1, no 6, cor. 3 du th. 2). D'autre part, S ( X )
est tonnelé, donc son dual &(X), muni de la topologie de la
convergence compacte sur X(X), est quasi-complet (Esp. vect.
top., chap. III, 5 3, no 7, cor. 2 du th. 4). Bien entendu, X ( X )
est complet pour la topologie déduite de sa norme, donc son
dual A1(X) est quasi-complet pour la topologie de la convergence compacte sur X ( X ) (loc. ci!.).
Supposons maintenant que U soit une représentation linéaire continue du groupe localement compact G dans un espace
de Banach E. Posons g(s) = llU(s)ii pour tout s E G. Alors, si
p est une mesure sur G telle que g soit, p-intégrable, on a
(Chap. VI, 5 1, no 7, Remarque 1). Nous poserons encore
7. Relations entre les endomorphismes U(p) et les endomorphismes U(S).
Lemme 4. - Soient T un espace localement compact, a un point
de T, M une partie de &(T), 8 un filtre sur M. On suppose que :
U(s)dy(s) E 3 ( E ; E) (chap. VI, § 1, no 7).
1,
Nous poserons U(y) =
U(s)dp(s). Munissons W(G) de la
topologie de la convergence compacte dans %'( G) . L'application
(p, x) - U(p)x de %"(G) x E dans E est hypocontinue relativement aux parties équicontinues de V(G) et aux parties compactes de E ; en particulier, l'application p -+ U(p) de WJ(G)
dans S ( E ; E) (muni de la topologie de la convergence compacte)
est continue (loc. cit., prop. 16).
Pour pouvoir appliquer plus loin ces résultats, notons que,
si X est un espace localement compact, V(X), muni de la topologie de la convergence compacte, est complet (Top. gén.,
chap. X, 2 e éd., 5 1, no 6, cor. 3 du th. 2). D'autre part, S ( X )
est tonnelé, donc son dual &(X), muni de la topologie de la
convergence compacte sur X(X), est quasi-complet (Esp. vect.
top., chap. III, 5 3, no 7, cor. 2 du th. 4). Bien entendu, X ( X )
est complet pour la topologie déduite de sa norme, donc son
dual A1(X) est quasi-complet pour la topologie de la convergence compacte sur X ( X ) (loc. ci!.).
Supposons maintenant que U soit une représentation linéaire continue du groupe localement compact G dans un espace
de Banach E. Posons g(s) = llU(s)ii pour tout s E G. Alors, si
p est une mesure sur G telle que g soit, p-intégrable, on a
(Chap. VI, 5 1, no 7, Remarque 1). Nous poserons encore
7. Relations entre les endomorphismes U(p) et les endomorphismes U(S).
Lemme 4. - Soient T un espace localement compact, a un point
de T, M une partie de &(T), 8 un filtre sur M. On suppose que :