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INTEGRATION
chap. VIII, 5 2
vers y,,,(s,)f dans T ( X ) , donc dans LC(X, P). Comme les
y,,,(s) sont isométriques, la prop. 8 s'obtient en appliquant
la Remarque 2 du no 1.
Pour le cas où x n'est pas supposée continue, cf. 3 4, exerc. 13.
PROPOSITION 9. - Supposons que chaque fonction ~ ( s ,
.)
soit bornée. Alors y, laisse stable L g X , (3)' et la représentation
linéaire y, de G dans Lg(X, P) esf continue.
Soit f E 9 ; ( ~ , - p). On a
1 IX(S-', z)f(.s-lx) /"dm) L sup ~ ( s - ~ '
z)*l J 1 f(s-lx) Ip~(s-l, x)@(x)
-
-
-
- w x : - - -
~
~
~
en notant q l'exposant conjugué de p. Si f E X ( X ) , y,(s)f tend
vers y,(s,)f dans Y ( X ) , donc dans 2'C(X, p), quand s tend vers
s,. Donc la représentation y, de G dans LC(X, P) est continue
(no 1, prop. 2).
On a des propriétés analogues à celles des nos 3, 4, 5 si G
opère à droite dans X.
En particulier, si l'on considère G comme opérant sur luimême par translations à gauche ou à droite, e t si l'on fait x = 1,
on obtient les représentations régulières gauche et droite de G
dans V(G), Z(G), m, V'(G), d(G), Al(G). Si l'on prend
pour p une mesure de Haar à gauche (resp. a droite) de G,
et si l'on fait x = 1, on obtient la représentation régulière gauche
(resp. droite) de G dans LC(G, P).
6. Prolongement d'une représentation linéaire de G aux
mesures sur G.
Soient G un groupe localement compact, E un espace
localement convexe, U une représentation linéaire de G dans E.