Soit p une mesure positive sur X de support X. Supposons qu'il
existe une fonction continue x > O sur G x X telle qu'on ait,
pour tout s E Gy
Y(s)P = x(s-lY . ). (3
(ce qui implique en particulier que p est quasi-invariante par
G). Alors, x est un mulfiplicatezrr. E n effet, soient s, t dans G ;
on a
Y(~)Y(~)P = y(s)(x(t-l, . ) . P) = (u(s)z(t-l, . )) . (y(s)P)
= (y(s)x(t-', - )). x(s-l, . ) . B
y(st)P = ~(t-ls-l, . ) . p
donc
x(t-1, ~ - ~ x ) ~ ( s - l ,
2) = x(t-ls-l, x)
localement p-presque partout, et en conséquence partout puisque x est continue et p de support X.
Soit p E (1, + CO[. Pour toute f E ~ C ( X ,
p) et tout s E G,
soit y,,,(s)f la fonction sur X définie par
donc y,,,(s)f E 9g(X, p). On voit que Y ~ , ~ ( S )
est un endomorphisme isométrique de 9,"(X, p) et définit par passage au
quotient un endomorphisme isométrique de LC(X, P), noté
encore y,,,(s). D'autre part, xllp est évidemment un multiplicateur, donc y,, est une représentation linéaire de G dans
LP,(X, (3) d'après ce qu'on a vu au no 3.
PROPOSITION 8. - La représentation liniaire y,,, de G
dans Lg(X, P) est continue et isométrique.
Soit f E T ( X ) . Quand s tend vers s,, dans G, ~ % , ~ ( s ) f
tend