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INTÉGRATION
chap. VIII, 5 2
4. Exemple : représentations linéaires dans des espaces de
mesures.
Soient toujours G un groupe localement compact, opérant continûment à gauche dans un espace localement compact X, et x un multiplicateur continu sur G x X. La représentation linéaire y, de G dans X ( X ) admet une représentation
contragrédiente dans d ( X ) , que nous noterons encore y,, et
qui est définie par la formule suivante (où p E A(X), f E S ( X ) ) :
(y(s)x(s, . ))(4 = As, s-lx).
La représentation linéaire yx de G dans %(X) admet une
représentation contragrédiente dans l'espace W(X) des mesures
sur X à support compact, représentation que nous noterons
encore y, ; les endomorphismes y,(s) de V'(X) sont les restrictions des endomorphismes y,(s) de d ( X ) .
PROPOSITION 6. - Si l'on munit &(X) (resp. V'(X)) de la
topologie de la convergence uniforme dans les parties compactes
de Z ( X ) (resp. V(X)), la représentation linéaire y, de G dans
&(XI (resp. V1(X)) est continue.
PROPOSITION 7. - Supposons que chaque fonction ~ ( s ,
.)
soit bornée. Alors y, laisse stable A1(X) et, si l'on munit A1(X)
de la topologie de la convergence uniforme dans les parties compactes
de X(X), la représentation linéaire y, de G dans A1(X) est confinue.
Ces propositions résultent des prop. 3, 4, 5 .
5. Exemple : représentations linéaires dans les espaces LP.
Soit toujours G un groupe localement compact, opérant
continûment à gauche dans un espace localement compact X.