L'application (s, f) -+ (s, y(s)f) de G x V(X) dans G x V(X)
est continue (no 2, lemme 3). D'autre part, l'application
(s, f ) -x(s, .)f de G x V(X) dans V(X) est continue ; car, si
s tend vers s, dans G, ~ ( s ,
.) tend vers ~(s,, .) uniformément
dans toute partie compacte de X ; si en outre f tend vers f,
dans % '
(
X )
,
~ ( s ,
.)f tend vers ~(s,, . )f, uniformément dans toute
partie compacte de X, d'où notre assertion. Donc la représentation y, de G dans V(X) est continue.
Montrons que la représentation y, de G dans X ( X ) est
continue. Comme X ( X ) est limite inductive d'espaces de Banach,
il est tonnelé (Esp. uect. top., chap. III, § 1, no 2, cor. 2 de la
prop. 2), donc il suffit de prouver que y, est séparément continue (no 1, prop. 1). Or, soient H une partie compacte de X et
so E G. Soient V un voisinage compact de s, dans G, et L = VH,
qui est compact dans X. Pour toute f E X ( X , H), le support
de yx(s,)f est contenu dans L, et l'on a
donc f - yx(s,)f est une application linéaire continue de Z ( X , H)
dans X(X, L) ; il en résulte que f - yx(so)f est une application
linéaire continue de X(X) dans lui-même (Esp. vect. top., chap.
II, § 2, no 2, cor. de la prop. 1). D'autre part, la topologie de
X(X, L) est induite par celle de %?(X). D'après ce qui a déjà
été démontré, l'application s - y,(s)f de V dans Z ( X , L) est
continue. Ceci achève de prouver que y, est séparément continue.
PROPOSITION 5. - Supposons que chaque fonction ~ ( s ,
.)
soit bornée. Alors y, laisse stable X(X), et la représentation
- -
linéaire y, de G dans X(X) est continue.
Il est clair que y, laisse stable X(X) et que chacun des
y,(s) est continu dans X(X). D'autre part, pour toute f E X(X),
s - y,(s)f est une application continue de G dans Z ( X ) et a
fortiori dans X(X). Donc la représentation y, d'ans X ( X ) est
continue (no 1, prop. 2).