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INTÉGRATION
chap. VIII, 9 2
L'assertion (i) est immédiate. L'assertion (ii) résulte du
lemme 3 où l'on fait X = G, Y = Z = E, cp(s, x) = U(s)x.
3. Exemple : représentations linéaires dans des espaces de
fonctions continues.
Soit G un groupe discret opérant B gauche sur un ensemble
X. Une fonction complexe x sur G x X est appelée un multiplicateur si l'on a
(1)
~ ( e ,
x) = 1 quel que soit x E X ;
(2) ~ ( s t ,
x) = ~ ( s ,
tx)~(t, x) quels que soient s, t dans G, x E X.
On en déduit
(3) ~ ( f - l ,
tx)~(t, x) = 1 quels que soient t E G, x E X,
et en particulier ~ ( i ,
x) # O quels que soient t E G, x 6 X.
Pour toute fonction complexe f définie sur X et tout
s E G, soit yx(s)f la fonction complexe sur X définie par
donc y, est une représentation linéaire de G. Pour x = 1, on
retrouve les endomorphismes y(s) (chap. VII, $ 1, no 1, formule
(3)).
Supposons maintenant G et X localement compacts, G
opérant continûment sur X, et x continue sur G x X. Alors
V(X) et X ( X ) sont stables pour les y,(s), d'où des représentations linéaires de G dans V(X) et Z ( X ) que nous noterons
encore y, .
PROPOSITION 4. - Les représentations linéaires yx de G
dans V(X) et S ( X ) sont continues.