s E G, U(s) est continu et que, pour tout x E A, s - U(s)x est une
application continue de G dans E . Alors U est continue.
E n effet, liU(s)ll est majoré sur toute partie compacte de
G d'après les lemmes 1 e t 2, et l'on applique alors la Remarque 2.
2. Représentation contragrédiente.
Soit U une représentation linéaire séparément continue de
G dans E. Soit E' le dual de E. L'application s - fU(s) est une
représentation linéaire dans E' du groupe 6 O opposé à G ; nous
dirons que cette représentation est la transposée de U . L'application s + tU(s-l) = tU(s)-l est une représentation linéaire de
G dans E', appelée contragrédiente de U .
Lemme 3. - Soient X u n espace localement compact, Y
et Z des espaces topologiques, y, une application continue de
X x Y dans Z , cp, l'application y 3 cp(x, y) de Y dans Z. Les
espaces W ( Y ) , V(Z) étant munis de la topologie de la convergence
compacte, l'application (x, f ) - f O cp, de X x %(Z) dans %?(Y)
est continue.
Il suffit évidemment de considérer le cas où X est compact. Soient (x,, fo) E X x %(Z), K une partie compacte de Y ,
et E > O. Soit K' = cp(X x K ) . Comme fo O

que Ifo(cp(x, y)) - fo(cp(xo, y))/ L E pour x E W e t y E K . D'autre
part, si l'on prend f E W(Z) telle que If(z) - f,(z)l d E pour tout
6 K', on aura If(cp(x, y)) - fo(cp(x, y))l A E pour x E X, Y E K,
et par suite If(cp(x, y)) - fo(cp(x,, y))l 4 2~ pour x E W et y E K.
D'où le lemme.
Revenons alors aux notations antérieures.
PROPOSITION 3. - (i) S i U est séparément continue,
est
séparément continue lorsqu'on munit Ef de la topologie faible
b(E', E).
(ii) S i G est localement compact et si U est continue,
est
continue lorsqu'on munit Ef de la topologie de la convergence
compacte.