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INTÉGRATION
chap. VIII, f 2
d'où IIU(s)ll = IIU(s-l)ll = 1 pour tout s E G.
PROPOSITION 1. - Si G est localement compact et si E est
tonnelé, toute représentation linéaire U séparément continue de
G dans E est continue.
E n effet, pour toute partie compacte K de G, U ( K ) est
compact pour la topologie de la convergence simple (Remarque l),
donc est équicontinu (Esp. uect. top., Chap. I I I , 5 3, no 6,
th. 2) ; on applique alors la Remarque 2.
Lemme 1. - Soient G un groupe localement compact, p
une fonction finie semi-continue inférieurement 3 0 sur G telle
que p(st) -L p(s)p(t) quels qzie soient s, t dans G. Alors p est majorée
dans toute partie compacte de G.
Il existe une partie ouverte non vide U de G telle que p
soit majorée dans U (Top. gén., chap. IX, 2 e éd., 9 5, no 4, th. 2).
Soit K une partie compacte de 6. Alors K est recouvert par
un nombre fini d'ensembles slU, . . . , s,U. Pour tout x E U,
on a p(s,x) 4 p(si)p(x), donc p est majorée dans s,U, donc dans
K.
Lemme 2. - Soient G un groupe topologique, U une représentation linéaire de G dans un espace normé E , A une partie
partout dense de E. On suppose que, pour tout s E G, U(s) est
continu et que, pour tout x 6 A, s - U(s)z est une application
continue de G dans E. Alors la fonction s - g(s) - 11 U(s)ll sur G
est semi-continue inférieurement et uérifie g(st) I g(s)g(t).
Soit B la boule unité de E. On a g(s) = sup i/lJ(s)x/l,
xcBnA
et chaque fonction s - IIU(s)xll est continue sur G, donc g est
semi-continue inférieurement. D'autre part,
PROPOSITION 2. - Soient G u n groupe localement compact,
U une représentation linéaire de G dans u n espace normé E.
Soit A une partie partout dense de E. On suppose que, pour tout