(iii) On dit que U est équicontinue si elle est continue et si
l'ensemble des endomorphismes U(s), où s parcourt G, est équicontinu.
Remarques. - 1) Dire que U est séparément continue
signifie que s - U(s) est une application continue de G dans
l'espace 2 ( E ; E) des endomorphismes continus de E, muni
de la topologie de la convergence simple.
2) Dire que U est continue équivaut à l'ensemble des trois
conditions suivantes :
a)Epour tout s E G, U(s) est continu ; b) il existe un voisinage V de e tel que U(V) soit équicontinu ; c) il existe un ensemble
total D dans E tel que, pour tout x E D, l'application s - U(s)x
soit continue.
Ces conditions sont évidemment nécessaires. Réciproquement, supposons les conditions a), b), c) satisfaites. Sur U(V),
la topologie de la convergence simple est identique à la topologie de la convergence simple dans D (Esp. vect. top., chap. III,
5 3, no 5, prop. 5). Donc l'application (s, x) - U(s)x de V x E
dans E est continue (Top. gén., chap. X, 2eéd., $ 2 , no 1, cor. 3 de
la prop. 1). Comme U(s,s)x = U(s,,)(U(s)x) quels que soient
s,, E G, s E G, x E E, on voit que U est continue.
Lorsque G est localement compact, les conditions a) et b)
sont équivalentes A la condition :
a') pour toute partie compacte K de G, U(K) est équicontinu.
3) Supposons que U soit une représentation linéaire continue G dans E. Pour tout s E G, soit Û(s) le prolongement continu de U(s) au complété Ê de E. Alors Û est une représentation
linBaire de G dans Ê, satisfaisant aux conditions a) et c) de
la Remarque 2, et aussi à la condition b) d'après Top. gén.,
chap. X, 2eéd., 5 2, no 2, prop. 4. Donc Û est une représentation
linéaire continue de G dans Ê.
4) Si E est un espace normé, on dit que U est isométrique
lorsque IIU(s)il = 1 pour tout s E G. Il sufit pour cela que
IjU(s)ll -L 1 pour tout s E G, car on a alors
BOURBAKI, XXIX
9