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INTÉGRATION
chap. VIII, 5 2
Supposons que
e t p soient cp-convolables. Pour toute
f E X(Z), f O y est (1 Al @ 1 pl)-intégrable, donc la fonction
x - f(9(GY))dlpl(y) = (gui Par hypothèse est
définie pour tout x E X) est A-intégrable; donc x - c, * [pl est
scalairement A-intégrable pour a(d(Z), Y(Z)), et l'on a
d'où A * p = (E, * p)dh(x). Réciproquement, supposons que
Sx
l'application x - E, * lpl de X dans d ( Z ) soit scalairement
A-intégrable pour o(&(Z),X(Z)). Soit f E X+ (Z). Alors la fonction (x, y) - f(y(x, y)) est continue et l'on a (chap. V, fi 8, prop. 1)
Donc f O cp est (A @ p)-intégrable, de sorte que h et p sont cp-convolables.
5 2. Représentations linéaires des groupes.
1. Représentations linéaires continues.
Soient G un groupe topologique, E un espace localement
convexe, U une représentation linéaire de G dans E.
DÉFINITION 1. - (i) On dit que U est séparément continue
si, pour tout s E G, U(s) est un endomorphisme continu de E,
et si, pour tout x G E , l'application s - U(s)x de G dans E est
continue.
(ii) Qn dit que U est continue si (s, x) - U(s)x est une application continue de G x E dans E.