no 1
CONVOLUTION
127
Si cp est continue e t si les pi sont positives, le support de * yi
-
i
est y(S) (loc. ci!., cor. 4 d e la prop. 2).
COROLLAIRE. - S i 9 est continue, et si les p., sont a support
compact, les pi sont convolables et * pi est à support comppct.
i
5. Expression vectorielle du produit de convolution.
PROPOSITION 6. - Soient X , Y , Z des espaces localement
compacts, cp une application continue de X x Y dans Z , et A, y
des mesures sur X , Y . Pour que A et y soient 9-convolables, il
faut et il suffit que l'application (x, y) - E,(,, , , = E, E, de
X x Y dans d ( Z ) soit scalairement ( A 8 y)-intégrable pour la
topologie a ( A ( Z ) , S ( Z ) ) , et L'on a alors
Dire que A e t p sont 9-convolables signifie que, pour toute
f E Z ( Z ) , f O cp est (A @ p)-intégrable, c'est-à-dire que, pour
toute f E Z ( Z ) , la fonction ( x , y) - ( f , s ( ~ , y ) ) est ( A 63 p.)intégrable, c'est-à-dire encore que l'application (x, y) - & ,
(
,
, ,)
de X x Y dans d ( Z ) est scalairement (A @ y)-intégrable pour
a ( d ( Z ) , Y(Z)). S'il e n est ainsi, o n a
PROPOSITION 7. - Soient X , Y , Z des espaces localement
compacts, cp une application continue de X x Y dans Z , et A, (1
des mesures sur X , Y . On suppose que, pour tout x E X , E, et p.
sont 9-conuolables. Pour que A et p soient 9-conuolables, il faut
et il sumt que l'application z - E, * [ y / de X dans &(Z) soit
scalairement A-intégrable pour la topologie o ( d ( Z ) , X ( Z ) ) , et l'on
a alors A * p =