chap. VIII, 5 1
PROPOSITION 3. - Soient X I , . . ., X,, Y des espaces locan
lement compacts, cp une application continue de
X i dans Y .
n
i=l
Alors l'application (p,, . . . , p,) - *,pi de A 1 ( X , ) dans A 1 ( Y )
i = l
est multilinéaire continue.
Ceci résulte de la prop. 2 et de ce qu'on a dit au no 1.
4. Propriétés concernant les supports.
PROPOSITION 4. - Soient X I , . . . , X , , Y des espaces localement compacts, pi une mesure sur X i ( 1 L i 4 n), Si son support, cp une application continue de
Xi dans Y telle que la resi
triction de cp à TT Si soit propre. Alors les pi sont cp-convolables.
i
E n effet, soit K une partie compacte d e Y . Le support de
p = pl 8 . . . 8 p, est S = Si (chap. I I I , $ 5, no 2, prop. 2).
i
Donc qrl(K) fî n X i - S est p-négligeable. D'autre part,
( i
>
@ ( K ) n S est compact. Donc cp-l(K) est pintégrable.
PROPOSITION 5. - Soient X I , . . ., X,, Y des espaces localement compacts, pi une mesure sur X i (1 L i 4 n), p le produit
des p i , cp une application p-propre de
X , dans Y , et Si
i
support de p i .
a) Le support de * pi est contenu dans l'adhérence
b) S i cp est continue et si les p. , sont positives, le support
* p, est l'adhérence de cp
i
Soit S = n S, le support de p. Le support de * p, est
t
i
-
contenu dans cp(S) d'après le chap. V, 3 6 , no 2, cor. 3 de la prop. 2.