no 1
CONVOLUTION
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mesures respectivement données sur les X i et toutes # O. Alors
les deux assertions suivantes sont équivalentes :
(i) f i est pi-propre pour lout i , et les mesures fi(lpil) sont
y'-convolables ;
(ii) les y, sont 9-convolables, et g est propre pour *,(ly,l).
De plus, lorsque ces assertions sont vérifiées, on a
En effet, soit h = cp' O f = g O cp. D'après la prop. 1, les
conditions (i) et (ii) sont chacune équivalentes A la condition
suivante :
(iii) les pi sont h-convolables.
S'il en est ainsi, on a
3. Cas des mesures bornées.
PROPOSITION 2. - Soient X I , . . ., X , , Y des espaces locament compacts, pi une mesure bornée sur X i (1 r i 4 n ) , p. le
produit des pi , y une application y-mesurable de n X , dans Y .
n
n
L
Alors les pi sont 9-convolables et /I * piIl A r1 IlpiIl. S i les pi
n
i = l
i-1
sont en outre positives, on a Il * yJ = n /]pii/.
i = l
i-1
En effet, y: = Ipil est bornée et l / p ; / / = Ilpill (chap. V I ,
$ 2, no 9, prop. 13). On a / p l @ . . . @p,l = p i @ . . . @ p i
(chap. V I , 5 2, no IO), donc y, @ . . . @ p, est bornée et
(chap. V, § 8, no 2, cor. 6 de la prop. 5). Donc cp est p.-propre
(chap. V , § 6, no 1, Remarque l), c'est-à-dire que les pi sont cpn
convolahles. On a II * y;[/ = lip; @ . . . @ (chap. V , 8 6,
i-1
n
no 2, th. 1) et par suite Il =te y:/] = lly;ll . . . 1Ip.kII. Enfin,
i-1
]* pJ 4 * pi (no 1, formule (2)), donc
L
i