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INTÉGRATION
chap. VIII, $ 1
(i) Soient pij des mesures respectivement données sur les X i j ,
telles que, pour chaque i, les pij (1 L j L ni) soient
i
pour 1 i f-L m , 1 4 j
ni , sont ($ O 9)-convolables et l'on a
(ii) Supposons + et les cpi continues, et soient pi, des mesures
toutes # O, respectiuement données sur les X i j , et (+ O 9)-convolables ; alors, pour chaque i, les pij ( 1 G j L nt) sont 9,-convolables, les mesures * IpijI sont $-convolables, et l'on a la formule (3).
i
Il sufit d'envisager le cas où toutes les mesures considérées
sont 3 0.
Plaçons-nous dans les hypothèses de (i). L'application cp
(chap. V , 9 8, prop. 7). L'application + O cp est propre pour @ pij
i, i
prop. 4). Donc les pif (1 4 i 4 m, 1 G j l ni) sont (+ O 9)convolables e t l'on a la formule (3).
Plaçons-nous dans les hypothèses de (ii). Le lemme 2
prouve d'abord que cp est propre pour @ pij. Le lemme 1 prouve
i, i
aIors que, pour t o u t i, cp, est propre pour @ pij e t que
i
D'après le lemme 2, 4 est propre pour @ (* pij). D'ou la proi
j
position.
COROLLAIRE. - Soient X i , Xi (1 r i 4 n ) , Y , Y ' des espaces
localement compacts; soient y, cp' des applications continues de
X =
X i dans Y et de X' = 11 X i dans Y ' , respectinei
1
ment ; soient f i des applications continues de X i dans X i (1 i L n)
et g une application continue de Y dans Y', telles que cp' O f = g O cp,
f étant l'application de X dans X' produit des f i . Soient pi des
INTÉGRATION
chap. VIII, $ 1
(i) Soient pij des mesures respectivement données sur les X i j ,
telles que, pour chaque i, les pij (1 L j L ni) soient
i
pour 1 i f-L m , 1 4 j
ni , sont ($ O 9)-convolables et l'on a
(ii) Supposons + et les cpi continues, et soient pi, des mesures
toutes # O, respectiuement données sur les X i j , et (+ O 9)-convolables ; alors, pour chaque i, les pij ( 1 G j L nt) sont 9,-convolables, les mesures * IpijI sont $-convolables, et l'on a la formule (3).
i
Il sufit d'envisager le cas où toutes les mesures considérées
sont 3 0.
Plaçons-nous dans les hypothèses de (i). L'application cp
(chap. V , 9 8, prop. 7). L'application + O cp est propre pour @ pij
i, i
prop. 4). Donc les pif (1 4 i 4 m, 1 G j l ni) sont (+ O 9)convolables e t l'on a la formule (3).
Plaçons-nous dans les hypothèses de (ii). Le lemme 2
prouve d'abord que cp est propre pour @ pij. Le lemme 1 prouve
i, i
aIors que, pour t o u t i, cp, est propre pour @ pij e t que
i
D'après le lemme 2, 4 est propre pour @ (* pij). D'ou la proi
j
position.
COROLLAIRE. - Soient X i , Xi (1 r i 4 n ) , Y , Y ' des espaces
localement compacts; soient y, cp' des applications continues de
X =
X i dans Y et de X' = 11 X i dans Y ' , respectinei
1
ment ; soient f i des applications continues de X i dans X i (1 i L n)
et g une application continue de Y dans Y', telles que cp' O f = g O cp,
f étant l'application de X dans X' produit des f i . Soient pi des