no 1
CONVOLUTION
123
Lemme 1. - Pour 1 r i 4 n, soient X i , Y, deux: espaces
localement compacts, pi une mesure sur X i , cp, une application
continuedeXidansYi. soient x = r I [ x i , Y = H Y , , p = @ p i ,
1
I
i
et cp l'application de X dans Y, produit des cpi. Si cp est p-propre
et si pi # O pour tout i, les cpi sont pi-propres et cp(p) = @I cpi(pi).
i
On peut supposer les pi positives et n = 2. Soit f1 E Y+(Y,).
Puisque p, # O, il existe f , E %+ (Y,) telle que f z O cp, ne soit
pas pz-négligeable. La fonction (x,, x,) - fl(cpl(xl))fz(cpz(x,)) est
essentiellement i*-intégrable et continue, donc p-intégrable.
Donc il existe x, E X, tel que f,(cp,(x,)) # O e t que la fonction
x1 - fl(cpl(xl))f z(92(x,)) soit pl-intégrable. Donc f1 O
même pour cp,. On a y(p) = @ cpi(pi) d'après la prop. 7 du chap,
i
V, $ 8, no 3.
Le lemme suivant complète la prop. 4 du chap. V, $ 6,
no 3.
Lemme 2. - Soient T, T', T" trois espaces localemenf compacts, p une mesure sur T, x une application pmesurable de T
dans T', x' une application continue de T' dans T", et x" =x' O x. Si
x" est y-propre, TC est p-propre, x' est x(p)-propre, et x"(p)=x1(n(p)).
Soit K' une partie compacte de T'. Alors K" = xJ(K')
est compact, donc nu-l(Kn) est essentiellement p-intégrable,
donc x-'(K') c TC"-l(K") est essentiellement p-intégrable, de
sorte que x est p-propre. Alors x' est x(p)-propre et x"(p) =x'(~(p))
d'après le chap. V, 5 6, no 3, prop. 4.
PROPOSITION 1. - Soient X i j (1
i 6 m, 1 6 j L ni),
Y i (1 r i 4 m), Z des espaces localement compacts ; pour chaque i,
soit 9, une application de X i = fl Xij dans Y, ; soif cp l'appli1
cation de X =
Xi dans Y = n Y i , produit des cp, ; soit Ji
i
i
une application de Y dans Z.
CONVOLUTION
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Lemme 1. - Pour 1 r i 4 n, soient X i , Y, deux: espaces
localement compacts, pi une mesure sur X i , cp, une application
continuedeXidansYi. soient x = r I [ x i , Y = H Y , , p = @ p i ,
1
I
i
et cp l'application de X dans Y, produit des cpi. Si cp est p-propre
et si pi # O pour tout i, les cpi sont pi-propres et cp(p) = @I cpi(pi).
i
On peut supposer les pi positives et n = 2. Soit f1 E Y+(Y,).
Puisque p, # O, il existe f , E %+ (Y,) telle que f z O cp, ne soit
pas pz-négligeable. La fonction (x,, x,) - fl(cpl(xl))fz(cpz(x,)) est
essentiellement i*-intégrable et continue, donc p-intégrable.
Donc il existe x, E X, tel que f,(cp,(x,)) # O e t que la fonction
x1 - fl(cpl(xl))f z(92(x,)) soit pl-intégrable. Donc f1 O
même pour cp,. On a y(p) = @ cpi(pi) d'après la prop. 7 du chap,
i
V, $ 8, no 3.
Le lemme suivant complète la prop. 4 du chap. V, $ 6,
no 3.
Lemme 2. - Soient T, T', T" trois espaces localemenf compacts, p une mesure sur T, x une application pmesurable de T
dans T', x' une application continue de T' dans T", et x" =x' O x. Si
x" est y-propre, TC est p-propre, x' est x(p)-propre, et x"(p)=x1(n(p)).
Soit K' une partie compacte de T'. Alors K" = xJ(K')
est compact, donc nu-l(Kn) est essentiellement p-intégrable,
donc x-'(K') c TC"-l(K") est essentiellement p-intégrable, de
sorte que x est p-propre. Alors x' est x(p)-propre et x"(p) =x'(~(p))
d'après le chap. V, 5 6, no 3, prop. 4.
PROPOSITION 1. - Soient X i j (1
i 6 m, 1 6 j L ni),
Y i (1 r i 4 m), Z des espaces localement compacts ; pour chaque i,
soit 9, une application de X i = fl Xij dans Y, ; soif cp l'appli1
cation de X =
Xi dans Y = n Y i , produit des cp, ; soit Ji
i
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une application de Y dans Z.