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INTÉGRATION
chap. VIII, § 1
prend pour cp la loi de composition dans M, les mesures a support fini sur M forment, pour la convolution, une algèbre qui
n'est autre que l'algèbre du monoi'de M (sur R, ou sur C, suivant
qu'on considère les mesures réelles ou complexes).
2) Soit M un monoïde muni de la topologie discréte ;
supposons que, pour tout m EM, il n'y ait qu'un ensemble
fini de couples (m', m") E M x M tels que m'm" = m ; cela
revient a dire que la loi de composition dans M est une application propre de M x M dans M ; alors les mesures sur M
forment, pour la convolution, une algèbre qui n'est autre que
l'algèbre large du monoïde M ; signalons les deux cas suivants :
a) M = N, la loi de composition étant l'addition. A toute
mesure p. sur N, associons la série formelle
en une indéterminée t. Alors S(y * y') = S(p)S(p'). Une remarque
analogue s'applique aux séries formelles à un nombre quelconque d'indéterminées.
* b ) M = N*, la loi de composition étant la multiplication.
A toute mesure p sur N*, associons la série de Dirichlet formelle
Alors D(p * p') = D(p)D(pr).,
3) Soient X, Y, Z des espaces localement compacts, rp
une application continue de X x Y dans Z. Si x G X et si y
est une mesure sur Y, dire que E% et p sont 9-convolables revient
A dire que l'application cp(x, .) de Y dans Z est p-propre. Et
l'on a alors E, * y = cp(x, .)(p).
2. Associativité.
Le lemme suivant complkte la prop. 7 du chap. V, $ 8,
no 3 :