no 1
CONVOLUTION
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Les deux dernières notations ne sont à employer, bien
entendu, que lorsqu'il ne peut y avoir aucun doute sur cp.
Soit f une fonction sur Y, a valeurs dans un espace de
Banach ou dans R. Pour que f soit essentiellement intégrable
pour pl * pz * . . . * pn, il faut e t il suffit que la fonction
soit essentielkment intégrable pour pl 8 pz 8 . . . @ y,, e t l'on
a alors
formule qui peut être considérée comme définissant pl * . . . * p ,
quand on y prend f E X(Y).
Les définitions entraînent aussitôt que les pi sont convolables si et seulement si les ]pi/ le sont. On a alors
(chap. VI, 5 2, no IO), c'est-à-dire
Si les pi sont convolables positives, et si vi est une mesure
sur Xi telle que O 4 vi 4 pi, les vi sont convolables et
*vi
* pi.
i
i
Supposons pl, p2, . . ., pn convolables, et pi, pz, . . ., Pm
convolables (y; étant une mesure sur X,). D'après le chap. V,
$ 6, no 3, prop. 6, pl + pi, p z , . . ., p, sont convolables et
( P l + & ) * P Z *
* P ~ = P I * P ~ * * ~ n + ~ ~ . ; * p z *
- . a
Exemples. - 1) Pour cp quelconque, les. mesures E,,, où
xi E X i pour 1 6 i 4 n, sont toujours convolables et ont pour
produit de convolution E,, avec y =cp (x,, x,, . . ., x,). Par suite,
si chacune des pi est à support fini, les pi sont convolables
et pl * . . . + p, est à support fini. E n particulier, soit M un
monoïde muni d'une topologie localement compacte ; si on