Chapitre 3 – Circuits linéaires soumis à un échelon de tension
1. On définit la constante de temps t, exprimée en secondes, du circuit (RL) par une relation
du type t = L
a R
b où a et b sont deux constantes réelles. Par analyse dimensionnelle rapide,
déterminer la valeur des exposants a et b (On raisonnera à partir des relations entre u et i).
2. a) Pour 0 t
T
2
, établir l’équation différentielle régissant les variations de l’intensité i
dans le circuit. La résoudre en justifiant soigneusement la détermination de la (des) constante(s)
d’intégration.
b) En déduire l’expression de u L (t).
c) Tracer l’allure des courbes représentatives de i(t) et de u L (t) en précisant les valeurs vers
lesquelles ces fonctions tendent en régime permanent, ainsi que l’équation des tangentes à
l’origine.
3. Déterminer complètement l’expression de i(t) et u L (t) pour
T
2
t T .
4. Le G.B.F. est réglé sur la fréquence f = 1, 0 kHz, la bobine a pour inductance L = 1, 0 H
et R = 1, 0.10
3 V . Comparer la période T de la tension délivrée par le G.B.F. et la constante
de temps t du circuit. Tracer qualitativement l’évolution des graphes de i(t) et u L (t) sur
quelques périodes. Commenter.
2.
Régime transitoire d’un circuit R, L, C parallèle, d’après Mines d’Alès
Soit un circuit constitué de l’association en série d’une source idéale de tension E, d’une résistance R, d’un interrupteur K et de l’association en parallèle d’une résistance r, d’une inductance L et d’une capacité C. Initialement l’interrupteur est ouvert, la capacité est déchargée et
tous les courants sont nuls. On ferme l’interrupteur K à l’instant t = 0. On notera i l’intensité
du courant dans R, i 1 dans L, i 2 dans C et i 3 dans r ainsi que u la tension aux bornes de r (ou
de C ou de L).
1. Déterminer, en les justifiant, les valeurs de u, i, i 1 , i 2 et i 3 juste après la fermeture de
l’interrupteur K.
2. Même question lorsque le régime permanent est complètement établi.
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par i 3 pour t > 0.
4. L’écrire sous la forme
d
2 i 3
dt 2 + 2lv 0
di 3
dt
+ v
2
0 i 3 = 0
On donnera les expressions de v 0 et l en fonction de r, R, L et C.
5. Etablir la condition que doivent vérifier r, R, L et C pour observer un régime pseudopériodique.
6. Que caractérise l ?
7. Définir la pseudo-pulsation v et la pseudo-période T et en donner les expressions en
fonction de r, R, L et C.
8. Déterminer l’expression de i 3 en fonction du temps. On justifiera la détermination des
constantes.
9. Définir et exprimer le décrément logarithmique en fonction de T, l et v 0 .
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1. On définit la constante de temps t, exprimée en secondes, du circuit (RL) par une relation
du type t = L
a R
b où a et b sont deux constantes réelles. Par analyse dimensionnelle rapide,
déterminer la valeur des exposants a et b (On raisonnera à partir des relations entre u et i).
2. a) Pour 0 t
T
2
, établir l’équation différentielle régissant les variations de l’intensité i
dans le circuit. La résoudre en justifiant soigneusement la détermination de la (des) constante(s)
d’intégration.
b) En déduire l’expression de u L (t).
c) Tracer l’allure des courbes représentatives de i(t) et de u L (t) en précisant les valeurs vers
lesquelles ces fonctions tendent en régime permanent, ainsi que l’équation des tangentes à
l’origine.
3. Déterminer complètement l’expression de i(t) et u L (t) pour
T
2
t T .
4. Le G.B.F. est réglé sur la fréquence f = 1, 0 kHz, la bobine a pour inductance L = 1, 0 H
et R = 1, 0.10
3 V . Comparer la période T de la tension délivrée par le G.B.F. et la constante
de temps t du circuit. Tracer qualitativement l’évolution des graphes de i(t) et u L (t) sur
quelques périodes. Commenter.
2.
Régime transitoire d’un circuit R, L, C parallèle, d’après Mines d’Alès
Soit un circuit constitué de l’association en série d’une source idéale de tension E, d’une résistance R, d’un interrupteur K et de l’association en parallèle d’une résistance r, d’une inductance L et d’une capacité C. Initialement l’interrupteur est ouvert, la capacité est déchargée et
tous les courants sont nuls. On ferme l’interrupteur K à l’instant t = 0. On notera i l’intensité
du courant dans R, i 1 dans L, i 2 dans C et i 3 dans r ainsi que u la tension aux bornes de r (ou
de C ou de L).
1. Déterminer, en les justifiant, les valeurs de u, i, i 1 , i 2 et i 3 juste après la fermeture de
l’interrupteur K.
2. Même question lorsque le régime permanent est complètement établi.
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par i 3 pour t > 0.
4. L’écrire sous la forme
d
2 i 3
dt 2 + 2lv 0
di 3
dt
+ v
2
0 i 3 = 0
On donnera les expressions de v 0 et l en fonction de r, R, L et C.
5. Etablir la condition que doivent vérifier r, R, L et C pour observer un régime pseudopériodique.
6. Que caractérise l ?
7. Définir la pseudo-pulsation v et la pseudo-période T et en donner les expressions en
fonction de r, R, L et C.
8. Déterminer l’expression de i 3 en fonction du temps. On justifiera la détermination des
constantes.
9. Définir et exprimer le décrément logarithmique en fonction de T, l et v 0 .
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