Chapitre 3 – Circuits linéaires soumis à un échelon de tension
c) Régime critique
Le régime critique correspond à la valeur D = 0 soit R = 2
L
C et j = 1 qui est
la valeur critique entre le régime apériodique qui vient d’être étudié et le régime
pseudopériodique qui sera vu au paragraphe suivant.
Dans ce cas, l’équation caractéristique admet une solution double
r = −v 0
La solution peut donc s’écrire sous la forme :
u(t) = (U 0 + U 1 t) exp (−v 0 t)
où U 0 et U 1 sont des constantes à déterminer avec les conditions initiales (grâce à la
continuité de u et de i à t = 0).
On en déduit l’intensité dans la branche :
i = C
du
dt
= C (U 1 − v 0 U 0 − v 0 U 1 t) exp (−v 0 t)
L’allure de u(t) et i(t) sont du même type que pour le régime apériodique. Les mêmes
remarques relatives aux allures peuvent être formulées.
Il n’y a donc pas de différence majeure au niveau du sens physique des régimes apériodique et critique. On peut noter qu’expérimentalement le régime critique sera
impossible à obtenir car il faudra que la condition R = 2
L
C soit rigoureusement
vérifiée, ce qui est en pratique impossible à réaliser. La seule différence provient du
fait que les fonctions tendent vers 0 plus vite dans le cas du régime critique. Le retour
à l’équilibre est alors plus rapide pour le régime critique que pour le régime apériodique.
Il faut retenir que le régime critique est un cas limite entre les deux autres régimes.
d) Régime pseudopériodique
Il correspond au cas où le discriminant D de l’équation caractéristique est négatif soit
R < 2
L
C ou j < 1, ce qui correspond à une faible dissipation et à une faible valeur
de la résistance. On a donc deux solutions complexes conjuguées :
r ± = −jv 0 ± jv 0
1 − j 2 = −jv 0 ± jv
La solution de l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme :
u(t) = (U 1 cos vt + U 2 sin vt) exp (−jv 0 t) = U 0 cos (vt + w) exp (−jv 0 t)
où U 1 et U 2 (ou bien U 0 et w) sont des constantes que l’on détermine à l’aide des
conditions initiales, en utilisant la continuité des fonction u(t) et i(t).
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c) Régime critique
Le régime critique correspond à la valeur D = 0 soit R = 2
L
C et j = 1 qui est
la valeur critique entre le régime apériodique qui vient d’être étudié et le régime
pseudopériodique qui sera vu au paragraphe suivant.
Dans ce cas, l’équation caractéristique admet une solution double
r = −v 0
La solution peut donc s’écrire sous la forme :
u(t) = (U 0 + U 1 t) exp (−v 0 t)
où U 0 et U 1 sont des constantes à déterminer avec les conditions initiales (grâce à la
continuité de u et de i à t = 0).
On en déduit l’intensité dans la branche :
i = C
du
dt
= C (U 1 − v 0 U 0 − v 0 U 1 t) exp (−v 0 t)
L’allure de u(t) et i(t) sont du même type que pour le régime apériodique. Les mêmes
remarques relatives aux allures peuvent être formulées.
Il n’y a donc pas de différence majeure au niveau du sens physique des régimes apériodique et critique. On peut noter qu’expérimentalement le régime critique sera
impossible à obtenir car il faudra que la condition R = 2
L
C soit rigoureusement
vérifiée, ce qui est en pratique impossible à réaliser. La seule différence provient du
fait que les fonctions tendent vers 0 plus vite dans le cas du régime critique. Le retour
à l’équilibre est alors plus rapide pour le régime critique que pour le régime apériodique.
Il faut retenir que le régime critique est un cas limite entre les deux autres régimes.
d) Régime pseudopériodique
Il correspond au cas où le discriminant D de l’équation caractéristique est négatif soit
R < 2
L
C ou j < 1, ce qui correspond à une faible dissipation et à une faible valeur
de la résistance. On a donc deux solutions complexes conjuguées :
r ± = −jv 0 ± jv 0
1 − j 2 = −jv 0 ± jv
La solution de l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme :
u(t) = (U 1 cos vt + U 2 sin vt) exp (−jv 0 t) = U 0 cos (vt + w) exp (−jv 0 t)
où U 1 et U 2 (ou bien U 0 et w) sont des constantes que l’on détermine à l’aide des
conditions initiales, en utilisant la continuité des fonction u(t) et i(t).
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