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Circuits du second ordre
où U 1 et U 2 sont deux constantes à déterminer à l’aide des conditions initiales. En
effet, u(t) est la tension aux bornes d’un condensateur, c’est donc une fonction continue du temps, tout comme i(t) = C
du
dt
qui est l’intensité du courant traversant une
bobine.
On peut tout d’abord noter que r 1 et r 2 sont négatifs. Pour r 1 , le résultat est évident à
cause des signes « − » et du fait que j et v 0 sont par définition des quantités positives.
Pour r 2 , il faut remarquer que j
2 > j
2
− 1, ce qui implique la négativité de r 2 .
Ce résultat assure l’existence physique de la solution qui ne tend jamais vers l’infini.
Une solution tendant vers l’infini n’aurait pas de sens physique et un tel résultat sousentendrait que d’autres phénomènes non linéaires doivent être pris en compte.
De la solution donnant la tension u aux bornes du condensateur, on peut déduire
l’expression de l’intensité i (ce qui permettrait, si le besoin s’en faisait sentir, d’obtenir
les tensions aux bornes de l’inductance et de la résistance) :
i(t) = C
du
dt
= Cr 1 U 1 exp (r 1 t) + Cr 2 U 2 exp (r 2 t)
u
i
t
t
Figure 3.12 Régime apériodique.
En supposant que U 1 et U 2 sont positifs et avec comme conditions initiales
u(0) = U et i(0) = 0, on obtient les
allures données par la figure ci-contre
pour la tension u et l’intensité i. On
notera qu’ici on utilise à la fois la continuité de l’intensité dans la bobine et la
continuité de la tension aux bornes du
condensateur pour calculer les valeurs de
U 1 et U 2 .
Il ne s’agit que d’une allure. Il faudrait
réaliser une étude plus complète de la
fonction pour garantir le tracé. Cependant on peut noter les points suivants :
• la solution tend vers 0 à l’infini,
• les conditions initiales imposent la
valeur initiale ainsi que la pente initiale des courbes,
• il n’y a pas d’oscillations mais uniquement des combinaisons linéaires d’exponentielles décroissantes : les seuls paramètres modifiant l’allure ne peuvent être
que les constantes U 1 et U 2 .
L’absence d’oscillations donne le nom d’apériodique à ce régime caractérisé par l’absence de phénomènes périodiques.
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Circuits du second ordre
où U 1 et U 2 sont deux constantes à déterminer à l’aide des conditions initiales. En
effet, u(t) est la tension aux bornes d’un condensateur, c’est donc une fonction continue du temps, tout comme i(t) = C
du
dt
qui est l’intensité du courant traversant une
bobine.
On peut tout d’abord noter que r 1 et r 2 sont négatifs. Pour r 1 , le résultat est évident à
cause des signes « − » et du fait que j et v 0 sont par définition des quantités positives.
Pour r 2 , il faut remarquer que j
2 > j
2
− 1, ce qui implique la négativité de r 2 .
Ce résultat assure l’existence physique de la solution qui ne tend jamais vers l’infini.
Une solution tendant vers l’infini n’aurait pas de sens physique et un tel résultat sousentendrait que d’autres phénomènes non linéaires doivent être pris en compte.
De la solution donnant la tension u aux bornes du condensateur, on peut déduire
l’expression de l’intensité i (ce qui permettrait, si le besoin s’en faisait sentir, d’obtenir
les tensions aux bornes de l’inductance et de la résistance) :
i(t) = C
du
dt
= Cr 1 U 1 exp (r 1 t) + Cr 2 U 2 exp (r 2 t)
u
i
t
t
Figure 3.12 Régime apériodique.
En supposant que U 1 et U 2 sont positifs et avec comme conditions initiales
u(0) = U et i(0) = 0, on obtient les
allures données par la figure ci-contre
pour la tension u et l’intensité i. On
notera qu’ici on utilise à la fois la continuité de l’intensité dans la bobine et la
continuité de la tension aux bornes du
condensateur pour calculer les valeurs de
U 1 et U 2 .
Il ne s’agit que d’une allure. Il faudrait
réaliser une étude plus complète de la
fonction pour garantir le tracé. Cependant on peut noter les points suivants :
• la solution tend vers 0 à l’infini,
• les conditions initiales imposent la
valeur initiale ainsi que la pente initiale des courbes,
• il n’y a pas d’oscillations mais uniquement des combinaisons linéaires d’exponentielles décroissantes : les seuls paramètres modifiant l’allure ne peuvent être
que les constantes U 1 et U 2 .
L’absence d’oscillations donne le nom d’apériodique à ce régime caractérisé par l’absence de phénomènes périodiques.
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