Chapitre 3 – Circuits linéaires soumis à un échelon de tension
a) Équation caractéristique
Ce type d’équations différentielles se résout en introduisant la notion d’équation
caractéristique. Il s’agit de chercher des solutions sous la forme u = U 0 exp(rt) donc :
r
2 + 2jv 0 r + v
2
0
U 0 exp(rt) = 0
Comme exp(rt) ne s’annule jamais et que U 0 = 0 conduit à la solution identiquement
nulle ne présentant pas d’intérêt, on en déduit l’équation du second degré en r appelée
équation caractéristique :
r
2 + 2jv 0 r + v
2
0 = 0
Le discriminant s’écrit :
D = 4v
2
0
j
2
− 1
qui peut prendre tous les signes possibles. On obtient les trois cas suivants :
1. D > 0 : l’équation caractéristique admet deux solutions réelles :
r = −jv 0 ± v 0
j 2 − 1
2. D = 0 : l’équation caractéristique admet une solution double :
r = −jv 0
3. D < 0 : l’équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées :
r = −jv 0 ± jv 0
1 − j 2
où j
2 = −1.
On peut s’interroger sur la signification physique de la valeur limite. On aura D > 0
à condition que C
2
R
2
− 4
L
C
> 0 soit R > 2
L
C
. La dissipation d’énergie ayant
lieu au niveau de la résistance, cette inégalité permet de mesurer l’importance de la
dissipation d’énergie dans le système.
Les trois cas conduisent à trois types de solutions différentes.
b) Régime apériodique
Il correspond au cas où D > 0 soit R > 2
L
C ou j > 1. On a alors une forte
dissipation par effet Joule du fait d’une résistance importante.
L’équation caractéristique admet deux solutions réelles :
r 1 = −jv 0 − v 0
j 2 − 1 et r 2 = −jv 0 + v 0
j 2 − 1
La solution de l’équation différentielle est une combinaison linéaire des deux fonctions
exp (r 1 t) et exp (r 2 t) :
u = U 1 exp(r 1 t) + U 2 exp(r 2 t)
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