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Circuits du second ordre
3. Circuits du second ordre
3.1 Équation différentielle du circuit R, L, C série (figure 3.11)
i
u
L
R
C
e
Figure 3.11 Circuit R, L, C série.
On applique une loi des mailles :
u + Ri + L
di
dt
= e
Or la relation tension - intensité pour un
condensateur s’écrit :
i = C
du
dt
On obtient finalement l’équation différentielle suivante :
LC
d
2 u
dt 2 + RC
du
dt
+ u = e
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants
et second membre non nul.
3.2 Régime libre ou propre
Comme précédemment, on appelle régime propre ou régime libre le régime correspondant à l’absence de source extérieure.
On cherche donc les solutions de l’équation différentielle homogène associée :
LC
d
2 u
dt 2 + RC
du
dt
+ u = 0
qui est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants sans second
membre.
On peut remarquer qu’on peut réécrire cette équation différentielle en utilisant les
paramètres v 0 =
1
√
LC
et j =
R
2
C
L
. On verra que v 0 est homogène à une
pulsation et s’exprime donc en rad.s −1 et que j est une grandeur sans dimension.
d
2 u
dt 2 +
R
L
du
dt
+
1
LC
u = 0
soit
d
2 u
dt 2 +
R
√
Cv 0
√
L
du
dt
+ v
2
0 u = 0
et
d
2 u
dt 2 + 2jv 0
du
dt
+ v
2
0 u = 0
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