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Quelques remarques sur le mouvement des satellites (MPSI, PCSI)
6.3 Vitesse de libération ou seconde vitesse cosmique
On a vu que dans le cas d’un potentiel newtonien attractif, ce qui est le cas envisagé
ici, on peut avoir aussi bien un état libre pour lequel le point matériel part à l’infini
qu’un état lié.
Dans le cas d’un satellite qui part à l’infini on dit qu’il se libère de l’attraction terrestre
à laquelle il était soumis. Il s’agit d’un abus de langage : le satellite est toujours soumis
à l’attraction terrestre même sur une trajectoire de type hyperbolique. La libération du
satellite ne sera possible que si sa trajectoire n’est plus une ellipse mais une parabole ou
une hyperbole. L’objet de ce paragraphe est de déterminer la vitesse nécessaire pour
atteindre un état libre donc une trajectoire parabolique ou hyperbolique.
D’après la discussion qualitative sur la nature du mouvement, il faut que l’énergie
mécanique soit nulle pour que l’état puisse devenir libre. Or on a :
Em =
1
2
mv
2
−
GmM T
R
Si Em = 0 alors :
v =
2GM T
R
Si on suppose que le satellite est initialement à proximité de la surface de la Terre où
on a R R T , il faudra transmettre la vitesse dite vitesse de libération
v l =
2GM T
R T
=
√
2v 0
pour que le satellite puisse atteindre un état libre. Alors si v > v l , alors E m > 0 et le
satellite garde une vitesse non nulle « à l’infini ».
Pour lancer un satellite sans qu’il atteigne sa vitesse de libération (ce qui reviendrait à
le perdre !), il faut choisir une vitesse entre v 0 et v 0
√
2. La marge est donc étroite.
Application numérique :
v l = 11, 3 km.s
−1 = 40, 7.10
3 km.h
−1
6.4 Troisième vitesse cosmique
Si la vitesse initiale v i du satellite est supérieure à v l alors, à l’infini
1 , il lui reste une
vitesse v f calculable par l’application de la conservation de l’énergie mécanique :
Em =
1
2
mv
2
i −
GM T m
R T
=
1
2
mv
2
i −
1
2
mv
2
l =
1
2
mv
2
f
1 Cela correspond à sa « sortie » de l’attraction terrestre.
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Quelques remarques sur le mouvement des satellites (MPSI, PCSI)
6.3 Vitesse de libération ou seconde vitesse cosmique
On a vu que dans le cas d’un potentiel newtonien attractif, ce qui est le cas envisagé
ici, on peut avoir aussi bien un état libre pour lequel le point matériel part à l’infini
qu’un état lié.
Dans le cas d’un satellite qui part à l’infini on dit qu’il se libère de l’attraction terrestre
à laquelle il était soumis. Il s’agit d’un abus de langage : le satellite est toujours soumis
à l’attraction terrestre même sur une trajectoire de type hyperbolique. La libération du
satellite ne sera possible que si sa trajectoire n’est plus une ellipse mais une parabole ou
une hyperbole. L’objet de ce paragraphe est de déterminer la vitesse nécessaire pour
atteindre un état libre donc une trajectoire parabolique ou hyperbolique.
D’après la discussion qualitative sur la nature du mouvement, il faut que l’énergie
mécanique soit nulle pour que l’état puisse devenir libre. Or on a :
Em =
1
2
mv
2
−
GmM T
R
Si Em = 0 alors :
v =
2GM T
R
Si on suppose que le satellite est initialement à proximité de la surface de la Terre où
on a R R T , il faudra transmettre la vitesse dite vitesse de libération
v l =
2GM T
R T
=
√
2v 0
pour que le satellite puisse atteindre un état libre. Alors si v > v l , alors E m > 0 et le
satellite garde une vitesse non nulle « à l’infini ».
Pour lancer un satellite sans qu’il atteigne sa vitesse de libération (ce qui reviendrait à
le perdre !), il faut choisir une vitesse entre v 0 et v 0
√
2. La marge est donc étroite.
Application numérique :
v l = 11, 3 km.s
−1 = 40, 7.10
3 km.h
−1
6.4 Troisième vitesse cosmique
Si la vitesse initiale v i du satellite est supérieure à v l alors, à l’infini
1 , il lui reste une
vitesse v f calculable par l’application de la conservation de l’énergie mécanique :
Em =
1
2
mv
2
i −
GM T m
R T
=
1
2
mv
2
i −
1
2
mv
2
l =
1
2
mv
2
f
1 Cela correspond à sa « sortie » de l’attraction terrestre.
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