Chapitre 31 – Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
en notant M T la masse de la Terre, v 0 sa vitesse initiale et r 0 sa distance initiale au
centre de la Terre.
On constate donc que l’énergie mécanique est une fonction croissante de la vitesse
initiale : plus la vitesse initiale est importante, plus l’énergie mécanique est grande.
D’autre part, on a établi que l’énergie mécanique peut se mettre sous la forme :
Em = −
GM T m
2a
où a désigne le demi grand axe de l’ellipse. On en déduit donc que l’énergie mécanique est une fonction croissante de a.
On en déduit que la valeur du demi grand axe sera d’autant plus importante que la
vitesse initiale sera grande.
Initialement, on choisit l’orbite basse la plus simple pour le satellite : une orbite circulaire de faible altitude donc de rayon proche de R T . La vitesse du satellite est donnée
par (Cf. paragraphe 5.2) :
v 0 =
GM T
R T
Cette vitesse est appelée première vitesse cosmique et est égale à la vitesse que doit
initialement avoir un satellite à la surface de la Terre. Cette vitesse ne dépend pas de
la masse du satellite.
Application numérique :
• G = 6, 67.10 −11 N.m
2 .kg −2 , M T = 6.10
24 kg et R T = 6 400 km, on en
déduit :
v 0 =
6, 67.10 −11 6.10 24
6, 4.10 6
= 7, 9.10
3 m.s
−1 = 28, 5.10
3 km.h
−1
• en passant par le champ de pesanteur au sol :
mg 0 =
mM T G
R 2
T
on a :
g 0 =
M T G
R 2
T
10 m.s
−2
et
v 0 =
g 0 R T
Le raisonnement qui a été fait ici peut être obtenu à n’importe quelle altitude mais la
première vitesse cosmique correspond par définition au cas où l’altitude h du satellite
est faible devant le rayon terrestre R T .
744
en notant M T la masse de la Terre, v 0 sa vitesse initiale et r 0 sa distance initiale au
centre de la Terre.
On constate donc que l’énergie mécanique est une fonction croissante de la vitesse
initiale : plus la vitesse initiale est importante, plus l’énergie mécanique est grande.
D’autre part, on a établi que l’énergie mécanique peut se mettre sous la forme :
Em = −
GM T m
2a
où a désigne le demi grand axe de l’ellipse. On en déduit donc que l’énergie mécanique est une fonction croissante de a.
On en déduit que la valeur du demi grand axe sera d’autant plus importante que la
vitesse initiale sera grande.
Initialement, on choisit l’orbite basse la plus simple pour le satellite : une orbite circulaire de faible altitude donc de rayon proche de R T . La vitesse du satellite est donnée
par (Cf. paragraphe 5.2) :
v 0 =
GM T
R T
Cette vitesse est appelée première vitesse cosmique et est égale à la vitesse que doit
initialement avoir un satellite à la surface de la Terre. Cette vitesse ne dépend pas de
la masse du satellite.
Application numérique :
• G = 6, 67.10 −11 N.m
2 .kg −2 , M T = 6.10
24 kg et R T = 6 400 km, on en
déduit :
v 0 =
6, 67.10 −11 6.10 24
6, 4.10 6
= 7, 9.10
3 m.s
−1 = 28, 5.10
3 km.h
−1
• en passant par le champ de pesanteur au sol :
mg 0 =
mM T G
R 2
T
on a :
g 0 =
M T G
R 2
T
10 m.s
−2
et
v 0 =
g 0 R T
Le raisonnement qui a été fait ici peut être obtenu à n’importe quelle altitude mais la
première vitesse cosmique correspond par définition au cas où l’altitude h du satellite
est faible devant le rayon terrestre R T .
744