Chapitre 31 – Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
avec |K| = GM S M P et m =
M S M P
M S + M P
. On en déduit :
T =
2pa
3
2
√
G (M S + M P )
et si M P M S :
T =
2pa
3
2
√
GM S
5.6 Troisième loi de Kepler (MPSI, PCSI)
De cette dernière relation, on déduit :
T
2 =
4p
2 a
3
GM S
soit :
T
2
a 3 =
4p
2
GM S
= c
te
et on a établi la troisième loi de Kepler, la constante ne dépend pas de la planète
considérée.
Si on ne peut pas écrire que M S M P , on obtient :
T
2
a 3 =
4p
2
G (M S + M P )
qui n’est plus indépendant de M P et donc de la planète.
Là encore, l’étude de la trajectoire circulaire permet d’obtenir rapidement la troisième
loi de Kepler. On en déduit la relation pour la trajectoire elliptique en remplaçant R
par a, ce qui constitue un moyen pratique de la retrouver et qu’on n’hésitera pas à
employer.
5.7 Variation de la vitesse sur la trajectoire (MPSI, PCSI)
On a obtenu l’expression de l’énergie mécanique en fonction du demi grand axe :
Em = −
GM S M P
2a
Or
Em =
1
2
mv
2
−
GM S M P
r
avec
m =
M S M P
M S + M P
M P
742