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Mouvement des planètes - Lois de Kepler
De plus, on a établi que :
p = m
C
2
|K|
On en déduit :
Em =
|K|
2p
e
2
− 1
Or on sait que p = a
1 − e
2
donc :
Em = −
|K|
2a
(31.2)
L’énergie mécanique ne dépend donc que du demi grand axe de l’ellipse. Ce résultat
est à connaître.
L’expression obtenue est bien négative, ce qui est normal pour une trajectoire elliptique (qui correspond à un état lié).
On notera qu’on peut utiliser la relation obtenue dans le cas de la trajectoire circulaire et remplacer R par a le demi-grand axe de l’ellipse. Cette approche fournit
un moyen pratique de retrouver l’expression (31.2) tout en n’en constituant pas une
démonstration dans le cas général.
5.5 Période de révolution (MPSI, PCSI)
On a établi que pour un mouvement à force centrale, la vitesse aréolaire est une
constante du mouvement. La période peut donc être obtenue comme le rapport entre
l’aire totale de l’ellipse et de la vitesse aréolaire :
T =
Aire de l ellipse
Vitesse ar« eolaire
Or l’aire d’une ellipse est donnée par pab et la vitesse aréolaire par
C
2
, donc :
T =
2pab
C
Or
a =
p
1 − e 2
et
b =
√ ap
D’autre part, p =
mC
2
|K|
donc :
T =
2pa
√ ap
C
=
2pa
3
2
C
mC 2
|K|
=
2pa
3
2
√ m
|K|
1
2
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