Chapitre 31 – Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
a) Demi-grand axe a
Le demi-grand axe a est donné par : 2a = P 1 P 2 avec SP 1 =
p
1 + e
(P 1 correspond à
u = 0) et SP 2 =
p
1 − e
(P 2 correspond à u = p, voir figure 31.12) donc
2a =
p
1 + e
+
p
1 − e
=
2p
1 − e 2
soit
a =
p
1 − e 2
b) Distance focale c
P 2
P 1
O c
a
S
Figure 31.12 Trajectoire elliptique.
Il s’agit de la distance du centre de l’ellipse
au centre de force ou foyer de l’ellipse.
soit
c = a − SP 1 =
pe
1 − e 2
c) Excentricité
Des deux relations donnant la distance
focale et le demi-grand axe, on peut
déduire l’excentricité de l’ellipse :
e =
c
a
d) Demi petit axe b
Les relations générales sur les coniques donnent la relation :
a
2 = b
2 + c
2
donc
b
2 = a
2
− c
2 =
p
2
(1 − e 2 )
2 −
p
2 e
2
(1 − e 2 )
2 =
p
2
1 − e 2
On en déduit :
b =
p
√
1 − e 2
= a
1 − e 2 =
√ ap
5.4 Expression de l’énergie mécanique (MPSI, PCSI)
On a vu au paragraphe 4.3 que l’énergie mécanique et l’excentricité de la trajectoire
sont reliées par l’équation :
Em =
K
2
2mC 2
e
2
− 1
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a) Demi-grand axe a
Le demi-grand axe a est donné par : 2a = P 1 P 2 avec SP 1 =
p
1 + e
(P 1 correspond à
u = 0) et SP 2 =
p
1 − e
(P 2 correspond à u = p, voir figure 31.12) donc
2a =
p
1 + e
+
p
1 − e
=
2p
1 − e 2
soit
a =
p
1 − e 2
b) Distance focale c
P 2
P 1
O c
a
S
Figure 31.12 Trajectoire elliptique.
Il s’agit de la distance du centre de l’ellipse
au centre de force ou foyer de l’ellipse.
soit
c = a − SP 1 =
pe
1 − e 2
c) Excentricité
Des deux relations donnant la distance
focale et le demi-grand axe, on peut
déduire l’excentricité de l’ellipse :
e =
c
a
d) Demi petit axe b
Les relations générales sur les coniques donnent la relation :
a
2 = b
2 + c
2
donc
b
2 = a
2
− c
2 =
p
2
(1 − e 2 )
2 −
p
2 e
2
(1 − e 2 )
2 =
p
2
1 − e 2
On en déduit :
b =
p
√
1 − e 2
= a
1 − e 2 =
√ ap
5.4 Expression de l’énergie mécanique (MPSI, PCSI)
On a vu au paragraphe 4.3 que l’énergie mécanique et l’excentricité de la trajectoire
sont reliées par l’équation :
Em =
K
2
2mC 2
e
2
− 1
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