© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Mouvement des planètes - Lois de Kepler
d) Expression des différentes énergies
L’énergie cinétique vaut alors :
Ec =
1
2
M P v
2 =
1
2
GM P M S
R
L’énergie potentielle s’écrit :
Ep = −
GM P M S
R
= −2Ec
Quant à l’énergie mécanique, elle vaut :
Em = Ec + Ep = −
Ep
2
+ Ep = −
Ep
2
= −
1
2
GM P M S
R
On en déduit que :
Ec = −Em = −
1
2
Ep
5.3 Caractéristiques du mouvement elliptique (MPSI, PCSI)
On a un mouvement elliptique si :
• la force est attractive, ce qui est le cas ici,
• l’énergie mécanique est négative et supérieure à la valeur du minimum de l’énergie
potentielle effective. (Cf. figure 31.3).
Em =
1
2
mv
2
0 −
K
r 0
< 0
On choisit ici d’étudier le mouvement du mobile fictif défini au chapitre 22, la masse
du système est donc la masse réduite m.
L’équation est alors :
r =
p
1 + e cos (u − u 0 )
avec
p =
mC
2
|K|
et e < 1. On a : K = −GM S M P et m =
M S M P
M S + M P
. On en déduit si M S M P :
p =
C
2
GM S
Dans la suite, on prendra u 0 = 0.
739