Chapitre 31 – Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
les résultats du paragraphe précédent et l’énergie mécanique sera négative. On va
maintenant procéder à une étude approfondie de l’état lié et on pourra alors établir la
troisième loi de Kepler dans le cadre des hypothèses qui viennent d’être formulées.
5.2 Étude de la trajectoire circulaire
a) Caractère uniforme du mouvement
Pour une trajectoire circulaire, la distance r au centre du Soleil est constante : r = R.
L’accélération s’écrit donc :
− → a = −R ˙
u
2− → u r + R ¨
u − → u u
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit alors :
M P
− → a = M P
−R ˙
u
2− → u r + R ¨
u − → u u
= −G
M P M S
r 2
− → u r
On en déduit les relations suivantes :
⎧
⎨
⎩
−R ˙
u
2 = −
GM S
R 2
R ¨
u = 0
La vitesse angulaire v = ˙
u est constante et le mouvement circulaire est uniforme.
b) Relation entre le rayon et la vitesse
La vitesse s’exprimant en fonction de la vitesse angulaire v par la relation : v = Rv,
on en déduit :
R
v
2
R 2 =
GM S
R 2
soit
R =
GM S
v 2
ou v =
GM S
R
c) Troisième loi de Kepler
Or v = Rv =
2pR
T
en notant T la période, on déduit de la relation obtenue au
paragraphe précédent :
R =
GM S T
2
4p 2 R 2
On retrouve ainsi la troisième de Kepler :
T
2
R 3 =
4p
2
GM S
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