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Discussion sur la nature du mouvement (MPSI, PCSI)
O
u
r
Figure 31.11 Mouvement parabolique.
4.2 À partir de la valeur de l’excentricité
On part de l’équation de la trajectoire obtenue au paragraphe précédent :
r =
p
−e + e cos (u − u 0 )
avec
p =
mC
2
|K|
et e = sign (K) = ±1
D’après les résultats connus sur les coniques (Cf. cours de mathématiques), la trajectoire est :
• une ellipse si e < 1 et on aura alors un état lié,
• une hyperbole si e > 1 et on aura un état libre,
• une parabole si e = 1 et on aura un état libre.
4.3 À partir de la valeur de l’énergie mécanique
On cherche à établir l’expression de l’énergie mécanique en fonction de l’excentricité
en calculant le module au carré du vecteur excentricité − → e = −
− → u u +
mC
K
− → v
:
e
2 =
− → u u +
mC
K
− → v
2
= 1 +
m
2 C
2 v
2
K 2 + 2
mC
K
− → u u · − → v
Or − → u u · − → v = r ˙
u =
C
r
donc
e
2 = 1 +
m
2 C
2 v
2
K 2 + 2
mC
2
Kr
= 1 +
2mC
2
K 2
1
2
mv
2 +
K
r
= 1 +
2mC
2
K 2 Em
On en déduit l’expression de l’énergie mécanique :
Em =
K
2
2mC 2
e
2
− 1
(31.1)
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