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Détermination de l’expression de la trajectoire (MPSI, PCSI)
Quant à l’accélération en coordonnées polaires, elle s’écrit :
− → a =
¨ r − r ˙
u
2
− → u r
le terme sur − → u u étant nul car la force est centrale.
Avec u =
1
r
:
¨ r =
d
2 r
dt 2 =
d
dt
d
dt
1
u
=
d
dt
d
du
1
u
˙
u
=
d
dt
−
1
u 2
du
du
˙
u
Or pour les mouvements à force centrale, on a : C = r
2 ˙
u =
˙
u
u 2 constant donc
¨ r = −C
d
dt
du
du
= −C
d
du
du
du
˙
u = −C ˙
u
d
2 u
du 2 = −C
2 d
2 u
du 2
On obtient donc :
− → a =
−C
2 u
2 d
2 u
du 2 −
1
u
Cu
2
2
− → u r
soit
− → a = −C
2 u
2
d
2 u
du 2 + u
− → u r .
Il s’agit de la deuxième formule de Binet relative à l’accélération.
➤ Remarque : On notera que les formules de Binet ne sont valables que pour un mouvement à force centrale et qu’il ne faut pas chercher à l’appliquer dans d’autres circonstances. En effet, l’hypothèse d’une force centrale a été utilisée lors de la démonstration.
b) Obtention de l’équation de la trajectoire
L’application du principe fondamental de la dynamique au point matériel soumis à
une force centrale donne :
m − → a =
− →
f
− → a et
− →
f n’ont de composante non nulle que sur − → u r . On projette donc sur cette
direction :
−mC
2 u
2
d
2 u
du 2 + u
=
K
r 2 = Ku
2
soit
d
2 u
du 2 + u = −
K
mC 2
qui est la même équation différentielle qu’au paragraphe 3.2. On en déduit la solution :
u = −
K
mC 2 + A cos (u − u 0 ) ou r =
p
−e + e cos (u − u 0 )
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