Chapitre 31 – Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
b) Établissement de la trajectoire
x
y
− →
R
− → u r
− → u u
u
M
r
Figure 31.7 Invariant de
Runge-Lenz et trajectoire.
On peut alors retrouver l’équation de la trajectoire à partir de
− →
R :
− →
R · − → u r =
− → v ∧
− →
L O
· − → u r + K
=
− → u r ∧ − → v
·
− →
L O + K
= r ˙
u − → u z · mC − → u z + K
=
mC
2
r
+ K
Or
− →
R · − → u r = R cos w
en notant w l’angle entre
− →
R et − → u r .
− →
R étant constant, on peut choisir l’axe Ox selon la direction de
− →
R alors w = u et on
retrouve l’équation de la trajectoire : r =
mC
2
K
−1 +
R
K
cos w
.
3.4 Établissement de la trajectoire par les formules de Binet
a) Formules de Binet
Il s’agit d’exprimer le carré du module de la vitesse et l’accélération en coordonnées
polaires en utilisant la variable u =
1
r
.
La vitesse est donnée par : − → v = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u soit v
2 = ˙
r
2 + r
2 ˙
u
2
Le fait de poser u =
1
r
conduit à écrire :
dr
du
= −
1
u 2
du
du
soit
− → v =
dr
du
du
dt
− → u r + r
du
dt
− → u u = −
du
du
1
u 2
˙
u − → u r +
1
u
˙
u − → u u
et
v
2 =
˙
u
2
u 4
du
du
2
+ u
2
Or on a un mouvement à force centrale, donc C = r
2 ˙
u =
˙
u
u 2 est une constante.
On en déduit :
v
2 = C
2
du
du
2
+ u
2
qui est la première formule de Binet relative au carré du module de la vitesse. On
remarquera que cette formule a déjà été utilisée dans la méthode basée sur la conservation de l’énergie mécanique.
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