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Détermination de l’expression de la trajectoire (MPSI, PCSI)
dont la solution est la somme d’une solution particulière constante et de la solution
générale de l’équation homogène associée :
u = −
K
mC 2 + A cos (u − u 0 )
On en déduit :
1
r
= −
K
mC 2 + A cos (u − u 0 ) =
−K + mC
2 A cos (u − u 0 )
mC 2
soit
r =
mC
2
−K + mC 2 A cos (u − u 0 )
=
mC
2
|K|
−sign(K) + A
mC 2
|K| cos (u − u 0 )
On obtient une équation du type :
r =
p
−e + e cos (u − u 0 )
avec e = ±1 à savoir l’équation d’une conique de paramètre p et d’excentricité e,
O étant l’un des foyers.
3.3 Établissement de la trajectoire à partir de l’invariant de Runge-Lenz
ou de Laplace
a) Invariant de Runge-Lenz ou de Laplace
On définit le vecteur de Runge-Lenz ou de Laplace comme la quantité :
− →
R = − → v ∧
− →
L O + K − → u r
Il s’agit d’un invariant du mouvement étudié ici. En effet :
d
− →
R
dt
=
d − → v
dt
∧
− →
L O + − → v ∧
d
− →
L O
dt
+ K
d − → u r
dt
=
− →
f
m
∧
− →
L O + K ˙
u − → u u
=
1
m
K
r 2
− → u r ∧ mr
2 ˙
u − → u z + K ˙
u − → u u
= −K ˙
u − → u u + K ˙
u − → u u
soit :
d
− →
R
dt
=
− →
0
− →
R est donc constant. On peut montrer que
− →
R = −
K
mC
− → e ∧
− →
L O
où − → e est le vecteur exentricité introduit au paragraphe 3.1.
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