Chapitre 31 – Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
3.2 Établissement de la trajectoire par la conservation de l’énergie mécanique
Une autre méthode consiste à exploiter la conservation de l’énergie mécanique :
Em = Ec + Ep =
1
2
m˙ r
2 +
mC
2
2r 2 +
K
r
On cherche l’expression de r(u). Sachant que :
˙
r =
dr
dt
=
dr
du
du
dt
et
du
dt
= ˙
u =
C
r 2
On déduit
Em =
mC
2
2r 4
dr
du
2
+
mC
2
2r 2 +
K
r
Pour des raisons de commodité dans le calcul, on introduit la variable u(u) =
1
r(u)
,
alors :
r =
1
u
donc
dr
du
= −
1
u 2
du
du
et
Em =
mC
2
2
u
4 1
u 4
du
du
2
+
mC
2
2
u
2 + Ku =
mC
2
2
du
du
2
+ u
2
+ Ku
Or Em est une constante donc :
dEm
du
= 0 soit
mC
2
du
du
d
2 u
du 2 + u
du
du
+ K
du
du
= 0
Cela donne deux possibilités :
•
du
du
= 0
ce qui impliquerait que u soit constant et que la trajectoire soit un cercle. On verra
que cette solution est incluse dans l’autre cas.
•
mC
2
d
2 u
du 2 + u
+ K = 0
soit
d
2 u
du 2 + u = −
K
mC 2
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