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Détermination de l’expression de la trajectoire (MPSI, PCSI)
On définit à partir de cette équation la conservation du vecteur excentricité :
− → e = − − → u u −
mC
K
− → v
Il s’agit d’un vecteur dont la norme est sans dimension qui est conservé dans le type
de mouvement étudié ici.
b) Établissement de la trajectoire
x
y
M
− → e
u
u 0
r
− → u r
− → u u
Figure 31.5 Vecteur excentricité.
L’intérêt de ce vecteur est de permettre de
déterminer assez simplement l’équation de
la trajectoire.
On multiplie scalairement le vecteur excentricité, qui est constant d’après le paragraphe
précédent, par − → u u :
− − → e · − → u u =
− → u u · − → u u +
mC
K
− → v · − → u u
= 1+
mC
K
v u
où v u désigne la composante orthoradiale de
la vitesse.
v u =
K
mC
− − → e · − → u u − 1
= r ˙
u =
C
r
soit
1
r
=
K
mC 2
− − → e · − → u u − 1
Le vecteur − → e étant constant, son module e et sa direction le sont aussi. On note
u 0 l’angle entre l’axe Oy et − → e . L’angle entre les vecteurs − → e et − → u u est u − u 0 donc
− → e · − → u u = e cos(u − u 0 ).
x
y
M
− → e
u
r
− → u r
− → u u
Figure 31.6 Vecteur
excentricité et trajectoire.
L’équation de la trajectoire est donc :
r =
−mC
2
K
1 + e cos (u − u 0 )
On peut choisir l’axe Oy colinéaire à la direction du vecteur excentricité puisque ce dernier est
constant au cours du mouvement.
Cela revient à choisir u 0 = 0, ce qui simplifie
l’équation de la trajectoire en
r =
−mC
2
K
1 + e cos u
C’est l’équation d’une conique d’excentricité e, ce qui explique le nom donné à ce
vecteur. L’origine est l’un des foyers de la conique et son paramètre est p =
mC
2
|K|
.
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