Chapitre 31 – Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
On obtient l’allure de la figure 31.3 puisque :
lim
r→+∞
Ep eff (r) = 0 et lim
r→0
Ep eff (r) = +∞
On en déduit l’existence d’états libres et d’états liés dans le cas d’un potentiel newtonien attractif.
b) Interaction répulsive
Ep eff
états libres
mouvement impossible
r
Figure 31.4 Énergie potentielle
effective pour une interaction répulsive.
Dans ce cas, K > 0.
f (r) ne s’annule pas puisque K > 0 et
reste constamment négatif. On a donc
une fonction décroissante.
On obtient l’allure de la figure 31.4
puisque :
lim
r→+∞
Ep eff (r) = 0
et
lim
r→0
Ep eff (r) = +∞
On en déduit qu’il n’y a que des états
libres possibles dans le cas d’un potentiel newtonien répulsif.
3. Détermination de l’expression de la trajectoire (MPSI, PCSI)
3.1 Établissement de la trajectoire à partir du vecteur excentricité
a) Vecteur excentricité et loi de conservation
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit ici :
m
d − → v
dt
=
K
r 2
− → u r
Or on sait que − → u r = −
d − → u u
du
= −
1
˙
u
d − → u u
dt
, soit
d − → v
dt
= −
K
mr 2 ˙
u
d − → u u
dt
= −
K
mC
d − → u u
dt
et par intégration :
− → v = −
K
mC
− → u u +
− →
c
te = −
K
mC
( − → u u + − → e )
où
− →
c
te et − → e sont des vecteurs constants.
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