© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Force centrale conservative
On distingue :
• les états liés pour lesquels le point matériel évolue entre deux positions r min et r max ,
• les états libres pour lesquels le point matériel peut aller à l’infini.
1.7 Trajectoire
De la conservation de l’énergie mécanique, on peut déduire la relation entre u et r,
c’est-à-dire l’équation de la trajectoire en coordonnées polaires :
⎧
⎨
⎩
Em =
1
2 m˙ r
2 + Ep eff (r)
C = r
2 ˙
u
alors
du
dr
=
˙
u
˙
r
=
C
r 2
±
2 (Em − Ep eff (r))
m
= ±
C
r 2
m
2 (Em − Ep eff (r))
On sépare les deux cas suivant le signe de
du
dr
. Connaissant alors l’expression de
Ep eff (r), on peut « théoriquement » obtenir :
u − u 0 =
r
r0
C
r 2
m
2 (Em − Ep eff (r))
dr quand
du
dr
> 0
ou
u − u 0 = −
r
r0
C
r 2
m
2 (Em − Ep eff (r))
dr quand
du
dr
< 0
où u 0 = u(r 0 ).
Cela ne dit pas que le calcul donnera une expression analytique ni qu’il sera simple,
mais il est a priori possible d’obtenir l’expression de la trajectoire en coordonnées
polaires.
On peut également procéder de même pour obtenir une expression de r en fonction
du temps : ˙
r =
dr
dt
. Donc
t − t 0 = ±
r
r0
dr
m
2 (Em − Ep eff (r))
où r 0 = r(t 0 ). On inverse la relation obtenue pour avoir r(t). Alors on peut déterminer
l’équation horaire u(t) par :
u − u 0 =
t
t0
C
r 2 dt
725