Chapitre 31 – Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
1.5 Conservation de l’énergie mécanique
Si le système ne subit aucune autre force que la force centrale conservative, il y a
conservation de l’énergie mécanique.
On peut le traduire en coordonnées polaires puisque ce sont les coordonnées adaptées
au type de mouvement considéré.
Em = Ec + Ep
Or on a déjà établi que l’énergie potentielle ne dépend que de r. D’autre part, l’énergie
cinétique s’écrit :
Ec =
1
2
mv
2 =
1
2
m
˙
r
2 + r
2 ˙
u
2
En introduisant la constante des aires C :
˙
u =
C
r 2
on obtient :
Ec =
1
2
m˙ r
2 +
1
2
mr
2 C
2
r 4 =
1
2
m˙ r
2 +
1
2
m
C
2
r 2
et l’énergie mécanique s’écrit :
Em =
1
2
m˙ r
2 +
mC
2
2r 2 + Ep(r) = constante
1.6 Énergie potentielle effective et étude qualitative du mouvement
On introduit donc une énergie potentielle effective :
Ep eff (r) =
mC
2
2r 2 + Ep(r)
et on a :
1
2
m˙ r
2 + Ep eff (r) = constante
Comme cela a été fait au paragraphe 5 du chapitre 30 sur le mouvement de deux
points matériels isolés, il est possible de discuter qualitativement la nature du mouvement à partir de l’allure de l’énergie potentielle effective en fonction de r et de la
valeur de l’énergie mécanique. En effet,
1
2
m˙ r
2 > 0 donc
Em > Ep eff (r)
ce qui restreint les possibilités de mouvement suivant la position de Em par rapport à
la courbe représentative de l’énergie potentielle effective.
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