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Force centrale conservative
1.4 Constante des aires
La deuxième conséquence est connue sous le nom de loi des aires. Du fait de sa
nature plane, le mouvement va être décrit en coordonnées polaires dans le plan du
mouvement. On a donc :
− − →
OM = r − → u r
− → v = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u
On en déduit l’expression du moment cinétique :
− →
L O =
− − →
OM ∧ m − → v = mr
2 ˙
u − → u z
Ce vecteur étant constant d’après ce qui précède, on en déduit que
mr
2 ˙
u = constante
On introduit la constante des aires qu’on note C :
C = r
2 ˙
u
qui correspond au moment cinétique par rapport au point central O par unité de
masse. Il s’agit d’une constante, car la masse d’un point matériel ne varie pas.
Cette constante peut s’interpréter en termes de vitesse aréolaire. On appelle vitesse
aréolaire V la vitesse à laquelle le rayon vecteur balaie l’aire définie par la trajectoire
dans le plan du mouvement.
On assimile le triangle OM 1 M 2 à un triangle rectangle en M 1 :
V =
dA
dt
=
r (rdu)
2dt
=
r
2 ˙
u
2
=
C
2
qui est donc une constante.
O
M 1
M 2
dA
r
rdu
− →
L O
Figure 31.1 Constante des aires
et vitesse aréolaire.
O
M 1
M 2
dA
du
r
rdu
− →
L O
Figure 31.2 Projection dans le plan
du mouvement.
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