Chapitre 31 – Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
On en déduit que l’énergie potentielle Ep n’est fonction que de r, distance du point
matériel à l’origine ou point fixe O :
− →
f = −
dEp
dr
− → u r
Exemples
C’est le cas de l’interaction gravitationnelle :
Ep = −G
m 1 m 2
r
en supposant qu’une masse ponctuelle est située en O et l’autre en M, ou de l’interaction
coulombienne :
Ep =
1
4pe 0
q 1 q 2
r
en supposant qu’une charge ponctuelle est située en O et l’autre en M.
C’est également le cas de l’interaction avec un ressort, de longueur à vide r 0 , fixé en un point
fixe O :
Ep =
1
2
k (r − r 0 )
2
Dans la suite de ce paragraphe, on ne spécifie pas la dépendance de l’énergie potentielle avec r et on établit un certain nombre de résultats généraux des mouvements à
force centrale conservative.
1.2 Conservation du moment cinétique
On applique le théorème du moment cinétique en O (qui est un point fixe) :
d
− →
L O
dt
=
− − →
OM ∧
− →
f =
− →
0
car le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul, et, par définition des
forces centrales,
− →
f est colinéaire à
− − →
OM.
On en déduit que le moment cinétique par rapport au point fixe O est constant.
Le moment cinétique par rapport au point fixe O vers lequel est dirigée la force
centrale :
− →
L O =
− − →
OM ∧ m − → v
se conserve au cours du mouvement.
1.3 Mouvement plan
La conséquence immédiate de la conservation du moment cinétique est la nature
plane du mouvement. En effet, le mouvement a lieu perpendiculairement à
− →
L O donc
dans le plan passant par O et perpendiculaire à
− →
L O , soit le plan défini par O, la position
initiale M 0 et la vitesse initiale − → v 0 .
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On en déduit que l’énergie potentielle Ep n’est fonction que de r, distance du point
matériel à l’origine ou point fixe O :
− →
f = −
dEp
dr
− → u r
Exemples
C’est le cas de l’interaction gravitationnelle :
Ep = −G
m 1 m 2
r
en supposant qu’une masse ponctuelle est située en O et l’autre en M, ou de l’interaction
coulombienne :
Ep =
1
4pe 0
q 1 q 2
r
en supposant qu’une charge ponctuelle est située en O et l’autre en M.
C’est également le cas de l’interaction avec un ressort, de longueur à vide r 0 , fixé en un point
fixe O :
Ep =
1
2
k (r − r 0 )
2
Dans la suite de ce paragraphe, on ne spécifie pas la dépendance de l’énergie potentielle avec r et on établit un certain nombre de résultats généraux des mouvements à
force centrale conservative.
1.2 Conservation du moment cinétique
On applique le théorème du moment cinétique en O (qui est un point fixe) :
d
− →
L O
dt
=
− − →
OM ∧
− →
f =
− →
0
car le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul, et, par définition des
forces centrales,
− →
f est colinéaire à
− − →
OM.
On en déduit que le moment cinétique par rapport au point fixe O est constant.
Le moment cinétique par rapport au point fixe O vers lequel est dirigée la force
centrale :
− →
L O =
− − →
OM ∧ m − → v
se conserve au cours du mouvement.
1.3 Mouvement plan
La conséquence immédiate de la conservation du moment cinétique est la nature
plane du mouvement. En effet, le mouvement a lieu perpendiculairement à
− →
L O donc
dans le plan passant par O et perpendiculaire à
− →
L O , soit le plan défini par O, la position
initiale M 0 et la vitesse initiale − → v 0 .
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