3. Soit M une particule fictive de masse m telle que 1/m = 1/m + 1/m = 2/m, où
m = 7, 31.10
−26 kg désigne la masse d’une molécule de CO 2 . Sa position est définie dans
B par le vecteur − → r =
− − →
GM =
− −−→
M 1 M 2 = r − → u r , G représentant le centre de masse des deux
molécules.
a) Exprimer les positions − → r 1 =
−−→
GM 1 et − → r 2 =
−−→
GM 2 de deux molécules en fonction de − → r .
b) Par quelle transformation mathématique passe-t-on de la trajectoire de M à celles de M 1
et M 2 dans le référentiel barycentrique ? Que peut-on en conclure quant aux formes des ces
trajectoires ?
4. Montrer que la quantité de mouvement barycentrique de M 2 s’exprime très simplement
en fonction de celle de M.
5. a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à M 2 dans B, montrer que tout
se passe comme si M était soumise à la force
− →
F calculée à la question (1).
b) Montrer que le moment cinétique
− →
L b =
− − →
GM ∧ − → v dans B est constant. En déduire que le
mouvement est plan.
c) Exprimer la vitesse de M dans le repère en coordonnées polaires (r, u) de centre G.
6. a) Définir et exprimer en fonction de r, m, E p et L b l’énergie potentielle effective (ou
efficace) E p,eff .
b) Montrer dans le cas du potentiel de Lennard-Jones, en effectuant un changement de
variable linéaire que E p,eff peut s’exprimer en unité de e sous la forme :
E p,eff (x)
e
=
1
x
12
−
1
x
6
+
p
x 2
Exprimer la nouvelle variable x en fonction de L b et r.
c) Exprimer ˙
r(x).
d) Vérifier que p est une fonction simple de L b , m, e et s.
e) Calculer L b pour p = 0, 2 et p = 0, 8.
La figure (30.4) représente la variation de E p,red = E p,eff /e en fonction de x. La figure (30.5)
représente les variations de y =
√
m˙ r en fonction de x : c’est ce qu’on appelle un portrait de
phase. Sur ce dernier graphique, le courbes en trait fin correspondent à p = 0, 2 et les courbes
en trait épais à p = 0, 8.
7. On note E l’énergie mécanique du point M. Dans le cas p = 0, 2, on désigne par E 0 le
minimum et E 3 = 0, 0348 le second extremum (maximum). L’énergie E est en unité de e.
On précisera dans les discussions qui suivent si on a affaire à un état de diffusion ou à un état
lié.
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m = 7, 31.10
−26 kg désigne la masse d’une molécule de CO 2 . Sa position est définie dans
B par le vecteur − → r =
− − →
GM =
− −−→
M 1 M 2 = r − → u r , G représentant le centre de masse des deux
molécules.
a) Exprimer les positions − → r 1 =
−−→
GM 1 et − → r 2 =
−−→
GM 2 de deux molécules en fonction de − → r .
b) Par quelle transformation mathématique passe-t-on de la trajectoire de M à celles de M 1
et M 2 dans le référentiel barycentrique ? Que peut-on en conclure quant aux formes des ces
trajectoires ?
4. Montrer que la quantité de mouvement barycentrique de M 2 s’exprime très simplement
en fonction de celle de M.
5. a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à M 2 dans B, montrer que tout
se passe comme si M était soumise à la force
− →
F calculée à la question (1).
b) Montrer que le moment cinétique
− →
L b =
− − →
GM ∧ − → v dans B est constant. En déduire que le
mouvement est plan.
c) Exprimer la vitesse de M dans le repère en coordonnées polaires (r, u) de centre G.
6. a) Définir et exprimer en fonction de r, m, E p et L b l’énergie potentielle effective (ou
efficace) E p,eff .
b) Montrer dans le cas du potentiel de Lennard-Jones, en effectuant un changement de
variable linéaire que E p,eff peut s’exprimer en unité de e sous la forme :
E p,eff (x)
e
=
1
x
12
−
1
x
6
+
p
x 2
Exprimer la nouvelle variable x en fonction de L b et r.
c) Exprimer ˙
r(x).
d) Vérifier que p est une fonction simple de L b , m, e et s.
e) Calculer L b pour p = 0, 2 et p = 0, 8.
La figure (30.4) représente la variation de E p,red = E p,eff /e en fonction de x. La figure (30.5)
représente les variations de y =
√
m˙ r en fonction de x : c’est ce qu’on appelle un portrait de
phase. Sur ce dernier graphique, le courbes en trait fin correspondent à p = 0, 2 et les courbes
en trait épais à p = 0, 8.
7. On note E l’énergie mécanique du point M. Dans le cas p = 0, 2, on désigne par E 0 le
minimum et E 3 = 0, 0348 le second extremum (maximum). L’énergie E est en unité de e.
On précisera dans les discussions qui suivent si on a affaire à un état de diffusion ou à un état
lié.
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