c) Établir l’expression de l’énergie cinétique dans le référentiel barycentrique en fonction de
m et − → v .
d) Montrer que le mouvement du point M est celui d’une masse ponctuelle m soumise à une
force égale à l’attraction exercée par M 1 sur M 2 .
e) Indiquer comment on déduit les trajectoires de M 1 et M 2 à partir de celle de M.
3. Étude du mouvement de M :
a) Montrer que la trajectoire de M est plane.
b) Établir qu’elle vérifie la loi des aires qu’on explicitera. On notera C la constante des aires.
c) On se place alors dans une base telle que la trajectoire de M soit dans le plan d’équation
y = 0 et on repère le point M par ses coordonnées polaires avec u l’angle entre le vecteur
directeur de Oz et le vecteur position.
Montrer que l’équation du mouvement peut s’écrire :
m
d − → v
dt
=
Gm 1 m 2
C
d − → u u
dt
en notant G la constante de gravitation universelle.
d) En déduire l’expression de − → v .
e) Montrer que, moyennant un choix ad’hoc des axes Gx et Gz, la trajectoire de M est une
conique de foyer G et d’équation
p
1 + e cos u
.
f) Exprimer p en fonction de G, de C et de m = m 1 + m 2 .
g) Dans la base choisie précédemment, exprimer les équations des trajectoires de M 1 et M 2
ainsi que de leurs vitesses − → v 1 et − → v 2 . On prendra u 1 = u 2 = u.
4. Observation du phénomène :
Un observateur lié au référentiel barycentrique et très éloigné de G reçoit la lumière émise
par chacune des deux constituants de l’étoile double. Le sens et la direction de propagation de
la lumière sont définis dans le référentiel barycentrique par un vecteur unitaire − → u parallèle au
plan d’équation z = 0 et faisant un angle w avec l’axe Ox. On cherche à observer l’émission
de la raie a de l’hydrogène de longueur d’onde l 0 = 656, 3 nm. Le mouvement des sources
d’émission décale cette longueur d’onde par effet Doppler et on observe pour le constituant i
une longueur d’onde
l i = l 0
1 −
− → v i . − → u
c
en notant c la vitesse de la lumière.
a) Faire un schéma des vecteurs unitaires et exprimer − → u dans la base − → u r , − → u u , − → u y .
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m et − → v .
d) Montrer que le mouvement du point M est celui d’une masse ponctuelle m soumise à une
force égale à l’attraction exercée par M 1 sur M 2 .
e) Indiquer comment on déduit les trajectoires de M 1 et M 2 à partir de celle de M.
3. Étude du mouvement de M :
a) Montrer que la trajectoire de M est plane.
b) Établir qu’elle vérifie la loi des aires qu’on explicitera. On notera C la constante des aires.
c) On se place alors dans une base telle que la trajectoire de M soit dans le plan d’équation
y = 0 et on repère le point M par ses coordonnées polaires avec u l’angle entre le vecteur
directeur de Oz et le vecteur position.
Montrer que l’équation du mouvement peut s’écrire :
m
d − → v
dt
=
Gm 1 m 2
C
d − → u u
dt
en notant G la constante de gravitation universelle.
d) En déduire l’expression de − → v .
e) Montrer que, moyennant un choix ad’hoc des axes Gx et Gz, la trajectoire de M est une
conique de foyer G et d’équation
p
1 + e cos u
.
f) Exprimer p en fonction de G, de C et de m = m 1 + m 2 .
g) Dans la base choisie précédemment, exprimer les équations des trajectoires de M 1 et M 2
ainsi que de leurs vitesses − → v 1 et − → v 2 . On prendra u 1 = u 2 = u.
4. Observation du phénomène :
Un observateur lié au référentiel barycentrique et très éloigné de G reçoit la lumière émise
par chacune des deux constituants de l’étoile double. Le sens et la direction de propagation de
la lumière sont définis dans le référentiel barycentrique par un vecteur unitaire − → u parallèle au
plan d’équation z = 0 et faisant un angle w avec l’axe Ox. On cherche à observer l’émission
de la raie a de l’hydrogène de longueur d’onde l 0 = 656, 3 nm. Le mouvement des sources
d’émission décale cette longueur d’onde par effet Doppler et on observe pour le constituant i
une longueur d’onde
l i = l 0
1 −
− → v i . − → u
c
en notant c la vitesse de la lumière.
a) Faire un schéma des vecteurs unitaires et exprimer − → u dans la base − → u r , − → u u , − → u y .
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