Chapitre 30 – Systèmes de deux points matériels isolés
et le moment cinétique en N est quantifié par s = n
h
2p
où n est un entier et h la constante
de Planck. On notera qu’il ne s’agit que d’un modèle et que ce dernier n’est pas entièrement
satisfaisant : il est nécessaire de recourir à la mécanique quantique pour décrire correctement
l’atome.
1. Rappeler l’expression de la force d’interaction exercé par le noyau sur l’électron.
2. Exprimer le carré de la vitesse v de l’électron en fonction de la distance r de ce dernier au
noyau.
3. En déduire l’expression du rayon de la trajectoire en fonction de n, h, m e , e.
4. Calculer sa valeur pour n = 1.
5. Exprimer l’énergie totale E de l’électron et montrer qu’elle se met sous la forme
E = −
A
n 2 . Donner l’expression et la valeur numérique de A, en électron-volts (on rappelle
que 1 eV = 1, 6.10
−19 J).
6. Sachant que le passage d’un niveau d’énergie à un autre se traduit par l’émission d’un
photon de fréquence n telle que DE = hn, en déduire que les longueurs d’onde l émises
vérifient :
1
l
= R H
1
n 2
2
−
1
n 2
1
. On rappelle que n =
c
l
où c désigne la vitesse de la lumière
dans le vide (c = 3.10
8 m.s
−1 ). On donnera l’expression de la constante de Rydberg R H ainsi
que sa valeur numérique.
7. Quelles sont les longueurs d’onde dans le visible pour les séries de Lyman (n 2 = 1) et de
Balmer (n 2 = 2) ?
2.
Etude d’une étoile double, d’après ESTP-ENSAM 1998
On considère dans ce problème une étoile double constituée de deux éléments assimilables
à deux points matériels M 1 et M 2 de masse respective m 1 et m 2 . Dans tout le problème,
on suppose que le champ de gravitation dû aux autres constituants de la galaxie à laquelle
appartient cette étoile double est négligeable.
1. Généralités :
a) Rappeler l’énoncé précis du principe d’inertie.
b) Définir le référentiel barycentrique d’un système de points matériels.
c) Quelle est la propriété vérifiée par le référentiel barycentrique de l’étoile double considérée
ici ? Justifier la réponse.
2. Mouvement des deux éléments dans le référentiel barycentrique :
a) Établir l’expression des quantités de mouvements de M 1 et de M 2 dans le référentiel barycentrique en fonction de la masse réduite m du système et de la vitesse relative − → v .
b) Écrire l’expression du moment cinétique du système au centre de masse G du système
dans le référentiel barycentrique en fonction de
− − →
GM, de m et de − → v . On précisera la position
et la signification du point M. Quelle est la propriété particulière de ce moment cinétique ?
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et le moment cinétique en N est quantifié par s = n
h
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où n est un entier et h la constante
de Planck. On notera qu’il ne s’agit que d’un modèle et que ce dernier n’est pas entièrement
satisfaisant : il est nécessaire de recourir à la mécanique quantique pour décrire correctement
l’atome.
1. Rappeler l’expression de la force d’interaction exercé par le noyau sur l’électron.
2. Exprimer le carré de la vitesse v de l’électron en fonction de la distance r de ce dernier au
noyau.
3. En déduire l’expression du rayon de la trajectoire en fonction de n, h, m e , e.
4. Calculer sa valeur pour n = 1.
5. Exprimer l’énergie totale E de l’électron et montrer qu’elle se met sous la forme
E = −
A
n 2 . Donner l’expression et la valeur numérique de A, en électron-volts (on rappelle
que 1 eV = 1, 6.10
−19 J).
6. Sachant que le passage d’un niveau d’énergie à un autre se traduit par l’émission d’un
photon de fréquence n telle que DE = hn, en déduire que les longueurs d’onde l émises
vérifient :
1
l
= R H
1
n 2
2
−
1
n 2
1
. On rappelle que n =
c
l
où c désigne la vitesse de la lumière
dans le vide (c = 3.10
8 m.s
−1 ). On donnera l’expression de la constante de Rydberg R H ainsi
que sa valeur numérique.
7. Quelles sont les longueurs d’onde dans le visible pour les séries de Lyman (n 2 = 1) et de
Balmer (n 2 = 2) ?
2.
Etude d’une étoile double, d’après ESTP-ENSAM 1998
On considère dans ce problème une étoile double constituée de deux éléments assimilables
à deux points matériels M 1 et M 2 de masse respective m 1 et m 2 . Dans tout le problème,
on suppose que le champ de gravitation dû aux autres constituants de la galaxie à laquelle
appartient cette étoile double est négligeable.
1. Généralités :
a) Rappeler l’énoncé précis du principe d’inertie.
b) Définir le référentiel barycentrique d’un système de points matériels.
c) Quelle est la propriété vérifiée par le référentiel barycentrique de l’étoile double considérée
ici ? Justifier la réponse.
2. Mouvement des deux éléments dans le référentiel barycentrique :
a) Établir l’expression des quantités de mouvements de M 1 et de M 2 dans le référentiel barycentrique en fonction de la masse réduite m du système et de la vitesse relative − → v .
b) Écrire l’expression du moment cinétique du système au centre de masse G du système
dans le référentiel barycentrique en fonction de
− − →
GM, de m et de − → v . On précisera la position
et la signification du point M. Quelle est la propriété particulière de ce moment cinétique ?
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